影子價格長短期劃分及其計算

摘要：影子價格對資源配置具有重要的指導意義。但是影子價格的定義方式通常與短期生產相聯系，而長期生產多資源要素的變化往往被忽視。區分生產短、長期，通過方向導數來確定長期生產資源調整的影子價格。

關鍵詞：線性規劃；影子價格；方向導數；資源配置

中圖分類號：F0 文獻標志碼： A 文章編號：1673-291X（2011）07-0012-02

引言

影子價格是運籌學、管理學和經濟學中的一個重要概念。在實際計算中采用一般偏向求導法或者單純形表可以衡量資源的影子價格。但是，長期生產所對應的影子價格的論述較為罕見。本項研究試圖借助Aucamp與Steinberge等的研究成果，從對偶函數的極點值著手，利用Akgulm所提出的影子價格方向導數定義，計算短、長期生產所對應的影子價格。

一、問題的提出

影子價格與線性規劃對偶理論淵源極深，考慮如下一對線性規劃問題，原規劃問題（1）。

maxcjxj=zs.t. aijxi≤bi，i=1，2，…，m xi≥0，j=1，2，…，n（1）

maxbiyi=fs.t. aijyi≤cj，j=1，2，…，n yi≥0，i=1，2，…，m（2）

如果y*=（y*1，y*2，…，y*m）T為對偶規劃（2）的最優解，則最優值z*可看做是資源量bi（i=1，2，…，m）的一個函數，即z*=b1y*1+b2y*2+…+bmy*m（3），對bi求右向偏導數即為y*i：

y*i=，i=1，2，…，m（4）

顯然，此影子價格僅對應于一個短期生產問題，其前提是其他資源數量保持不變，一般通過單純形法求得。

考慮一個生產運作問題。設某工廠利用K、L兩種資源生產甲、乙兩種產品，資源要素量、產品的單位價格及可耗用的資源總量（如表1所示）：

表1 生產有關數據表

對于上述問題，為確定最優資源配置計劃，以收益為目標函數，以可耗資源為約束，構造線性規劃問題（5）。

max３x1+2x2=zs.t. 2x1+x2≤600 x1+3x2≤400 x1，x2≥0（5）

利用單純形法對問題（5）求解，結果（如表2所示）。

表2初始線性規劃的最優單純形

根據表2，推斷資源Ｋ的影子價格為，資源Ｌ的影子價格為。

但是，如果我們對資源K、L的數量同時進行調整的長期生產問題，上述計算方法難以確定資源影子價格，需要引進新的定義方式與計算方法。

二、影子價格的長期劃分與計算

本文擬借助Aucamp與Steinberge 等的研究成果，從生產最優值函數的極點解進行分析，通過Akgulm的方向導數進而確定長期多資源變化的影子價格。

Akgulm定義了函數Z*（b1，…，bm）在資源組合點B處沿方向u=（u1，u2，…，um）T∈Rm的導數：

Duz*（b）=limt→0+（6）

為資源組合u的影子價格。利用凸分析的一個結論，有Duz*（b）=min{uTy|y∈z*（b）}（7），通過（7）式我們可以求得多種資源變化時的影子價格，我們稱之為資源的組合影子價格。

三、長期資源調整的計算示例

對于例題，原規劃問題的對偶可行域的極點有三個，分別為（0，3）（，）（2，0），于是在短期生產范圍內，給定b1=600不變，僅b2發生變化，即此時資源組合點B沿單位方向（0，1）方向發生變化：

=minb1，b23b2，b1+b2，2b1=0，3b1≤b2，b1≤b2≤3b13，0≤b2≤b1

（7）

在長期范圍內，多種資源甚至所有資源投入都可進行調整，資源可以就任何方向進行調整。比如，假設當前要素組合沿單位方向=，進行調整，由于最優對偶解單一，此時資源組合的影子價格如下：

Dz*（b1，b2）=，1 800≤b1（a），300≤b2＜1 800（b），0≤b2＜300（c）（8）

結論

實際生產總表現出某種時期特性，不同時期特性下的影子價格定義方式、估計方法不盡相同。如果單純考察給定要素變動對收益的影響，采用收益函數對該要素的右向偏導數即可。如果給定時間范圍內涉及到至少兩種以上生產要素的調整，則需采用方向導數方能測度投入要素對收益函數的影響，唯有如此才能根據影子價格合理指導資源配置。

參考文獻：

[1]劉舒燕.關于資源影子價格不唯一性問題的討論[J].運籌與管理，2001，(2)：33-36.

[2]D.C.Aucamp and D.I.Steinberg.The computation of shadow prices in linear Programming.The Journal the Operational Research Society[J]，Vol.33，No.6，1982：557-565.

[3]Akgulm.A note on shadow prices in linear programming.The Journal of the Operational Research Society[J]，Vol.35，No.5，1984：425-431.

[4]周永華，陳新，劉建斌，鄭芳英.影子價格及其經濟意義[J].浙江理工大學學報，2006，(3)：145-150.

The Definition and Calculation of Shadow Price in the Long and Short Term

ZHENG Shan-shui

（Guangzhou Institute of Railway Technical，Guangzhou 510430，China）

Abstract： Shadow price has important guiding significance for resource allocation.However，the definition of shadow price is usually associated with short-term production，while the long-term production have always been ignored.In this article，the author consider the total revenue function as a piecewise linear function of resource combination，and use the directional derivative to calculate the long-term shadow price.

Key words：linear programming；shadow price；directional derivative；resource allocation

[責任編輯 吳高君]