靈活解決向量問(wèn)題

多年來(lái)，高考浙江數(shù)學(xué)卷中均有一道向量小題．這類題目重點(diǎn)考查了對(duì)向量的概念及其運(yùn)算的理解和應(yīng)用，它們?cè)O(shè)計(jì)精巧、內(nèi)容新穎、形式多樣，雖以向量的形式呈現(xiàn)，實(shí)則涉及代數(shù)、三角和平面幾何等多種知識(shí)，具有較強(qiáng)的綜合性．這使解題思路的形成受到了阻礙，因此得分率一直不高．

下面，我們將分析幾道較為典型的向量試題，幫助同學(xué)們走出思維盲區(qū)，靈活解決向量問(wèn)題．

一、解向量題的兩種基本方法——公式法和幾何法

例1 若平面向量α，β滿足α＝1，β≤1，且以向量α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為■，則α與β的夾角θ的取值范圍是 ．

解法一（公式法）：設(shè)β＝ｘ． ∵ 以向量α，β為鄰邊的平行四邊形的面積S為■，∴ β≠0，即0

解法二（幾何法）：如圖１所示，從同一起點(diǎn)O出發(fā)作向量■=α，■=β， α=1. 若以O(shè)A為平行四邊形的底，由平行四邊形的面積公式可得S=α·h=■，可知點(diǎn)B應(yīng)當(dāng)在到OA距離為■的兩條平行線l1，l2上運(yùn)動(dòng).由β≤1可得點(diǎn)B的軌跡應(yīng)在以O(shè)為圓心、1為半徑的圓上或在圓內(nèi).設(shè)C，D是圓O與l1的兩個(gè)交點(diǎn)，E，F(xiàn)是圓O與l2的兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)， ∵ OC=OD=1，點(diǎn)C和點(diǎn)D到OA的距離為■， ∴ ■≤θ≤■；同理，當(dāng)點(diǎn)B在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，■≤θ≤■．綜上所述，θ的取值范圍是■，■．

評(píng)注：解法一根據(jù)公式S=α·β·sinθ求出了θ的取值范圍；解法二根據(jù)向量運(yùn)算的幾何意義，通過(guò)作圖得出結(jié)論. 這兩種方法是解決向量問(wèn)題的基本思路．

公式法體現(xiàn)了向量“量”的一面，即向量可以像數(shù)那樣進(jìn)行合理的運(yùn)算；而幾何法更側(cè)重于向量運(yùn)算的幾何意義，體現(xiàn)了向量“形”的一面． 對(duì)例１而言，公式法似乎更便捷，但在實(shí)際運(yùn)用……