不等式問題:均值不等式和柯西不等式的運用

主 講：沈新權

浙江省數學特級教師，嘉興市數學會副會長.

在現實世界中，相等是相對的，不等是絕對的．不等關系是現實生活中最普遍的數量關系，不等式是刻畫不等關系的一種重要數學模型．不等式與數、式、方程、函數、導數等知識都有著天然緊密的聯系，是學習高等數學的重要基礎．在自主招生考試中，不等式問題主要分為三類：利用不等式求最值、解不等式、證明不等式．在本期內容中，我們討論用均值不等式和柯西不等式解決這三類問題．

一、均值不等式和柯西不等式

均值不等式：ai>0（ｉ＝1，2，…，ｎ） ，記ａ1到ａｎ這ｎ個正實數的平均數如下：調和平均數Hｎ＝■＝■，幾何平均數Gn=■=■，算術平均數An=■=■，平方平均數Qn=■=■，且有Hn≤Gn≤An≤Qn，當且僅當a1=a2=…=an時，Hn=Gn=An=Qn．其中，An≥Gn，即■≥■的使用頻率比較高．

柯西不等式： ai，bi（ｉ＝1，2，…，ｎ）為實數，則■■■■≥■ａｉｂｉ2． 若ａｉ≠0，當且僅當■=■=…=■時，等號成立；若ai=0，默認bi=0，等號也成立.柯西不等式的二維形式為（ａ2+ｂ2）（ｃ2+ｄ2）≥（ａｃ+ｂｄ）2，當且僅當ａｄ＝ｂｃ 時，等號成立．

二、利用均值不等式和柯西不等式求最值

利用均值不等式求最值時，要對所求的函數或代數式進行適當的“湊配”，“湊配”主要以“和為定值，積最大”“積為定值，和最小”為依據，在函數或代數式的轉化過程中找到定值．

利用柯西不等式求最值時，也要對系數進行適當的“湊配”，“湊配”的主要目的是把目標函數向柯西不等式的形式轉化．

利用均值不等式和柯西不等式求最值時，都要注意等號成立的條件．

例1 （2008年南開大學自主招生考試試題） 已知正數ａ，ｂ，ｃ滿足：ａ2+ａｂ+ａｃ+ｂｃ＝6+2■，則3ａ+ｂ+2ｃ的最小值為 ．

解析：由題意可知（ａ+ｂ）（ａ+ｃ）＝6+2■，即ａ+ｂ與ａ+ｃ的乘積為“定值”．∵ 3ａ+ｂ+2ｃ＝（ａ+ｂ）+2（ａ+ｃ）≥2■＝2■+2■，當且僅當……