過點的直線與圓錐曲線有且僅有一個交點的判別方法
2011-12-31 00:00:00黃志寧
中學教學參考·理科版 2011年10期
點、直線與圓錐曲線的位置關系是高中數學的重要內容，怎樣才能學好這部分知識，我認為必須掌握好如何判別過點的直線與圓錐曲線的位置關系，以及直線與圓錐曲線有且僅有一個交點的判別方法.通過本人多年的研究，總結出求過點作直線與圓錐曲線有且僅有一個交點的直線方程的解法必須同時具備以下三個步驟：第一步是確定點與圓錐曲線的位置關系，確定直線的條數；第二步是判斷直線與圓錐曲線的位置關系；第三步是確定直線與圓錐曲線有且僅有一個交點的情況.以下針對三種不同類型的題型進行探討.
一、直線與圓或橢圓
直線與圓或橢圓有且僅有一個交點，只有相切時才成立.（注意利用判別式為零或斜率不存在的情況）.
針對點P（m，n）與橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)
時，
①點P在橢圓內，不存在；
②點P在橢圓上，只有一條直線，即mxa2+nyb2=1；
③點P在橢圓外時，有兩條直線且為切線，利用點斜式求出斜率即可，注意切線垂直于x軸時的情況.
【例1】求過點P（0，4）與橢圓x216+y29=1
有且僅有一個交點的直線方程.
解：把點P代入橢圓方程的左邊得016+169=169＞1，
∴點P在橢圓外，有兩條直線與橢圓相切.
設切線方程為：y-4=kx，即y=kx+4，代入橢圓方程得
9x2+16(kx+4)2=9×16，(9+16k2)x2+16×8kx+16×7=0，
Δ=(16×8k)2-4×16×7×(9+16k2)=0，
∴k2=716，即k=±74.
∴切線方程為y=±74x+4，所求的直線方程為y=±74x+4.
二、直線與雙曲線
直線與雙曲線有且僅有一個交點有兩種可能，即直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行且與雙曲線相交.
針對點P（m，n）與雙曲線x2a2-y2b2=1
而言，
（1）當P點在雙曲線內時，能作兩條分別與漸近線平行的直線與雙曲線有且只有一個交點，此時，可以利用點斜式求出直線方程.
（2）當P點在雙曲線上時，能作出三條直線，其中兩條為與漸近線平行的交線，一條為雙曲線的切線，此時，可以利用點斜式求出交線方程.切線方程利用點斜式求出或用公式mxa2-nyb2=1
求出（注意當P點在雙曲線頂點時切線方程x=a或x=-a）.
（3）當P點在雙曲線外時：
①點P只在一條漸近線上時，能作出兩條，其中一條為切線（注意斜率不存在的切線），另一條為平行于另一條漸近線的交線.
②點P在兩條漸近線的交點上時，不能作出直線與雙曲線有且只有一個交點.
③點P不在漸近線上時，能作四條，其中兩條是切線，兩條是與漸近線平行的直線，此時切線可以利用點斜式求出直線方程（注意斜率不存在的切線）.
【例2】已知雙曲線方程x24-y24=1
，針對P（m，n）所在平面的位置，求出過點P引直線與雙曲線有且只有一個交點的直線方程.①P(3，0)；②P(1，1)；③P(0，0)；④P(0，3).
解：選②.把點P代入雙曲線方程的左邊得14-14=0＜1，則點P在雙曲線外.
雙曲線的漸近線方程為：y=±x，可知點P在雙曲線的一條漸近線上，則能作出兩條滿足條件的直線，其中一條為切線，另一條為平行于另一條漸近線的交線.
交線為：y-1=-(x-1)，即y=-x+2.
設切線為：y-1=k(x-1)，即y=kx+(1-k)，代入雙曲線方程得：
x2-［kx+(1-k)］2=4(1-k2)x2-2k(1-k)x-(k2-2k+5)=0.
當(1-k2)=0時，即k=1或k=-1，
此時平行于漸近線的直線為y=x(不合題意舍去)或y=-x+2；
當(1-k)2≠0時，則由［2k(1-k)］2+4(1-k2)(k2-2k+5)=0得
3k2+2k-5=0，則k=-53，k=1(不合題意舍去).
切線方程為：y=-53x+83.
綜合所求直線方程為：y=-53x+83或y=-x+2.
三、直線與拋物線
直線與拋物線有且僅有一個交點的兩種可能分別是相切和直線平行于拋物線的對稱軸.
針對點Q(m，n)與拋物線y2=2px而言：
（1）當點Q（m，n）在拋物線y2=2px內時，有且只有一條直線，即y=n，平行于對稱軸；
（2）當點Q(m，n)在拋物線y2=2px上時，有兩條，其中一條為切線，一條為交線，且交線為y=n.切線時，利用點斜式就可以求出切線方程，或利用公式即：ny=p(x+m)，或利用求導數的方法求斜率；
（3）當點Q(m，n)在拋物線y2=2px外時，有三條.其中兩條為切線，一條為交線，交線的方程為y=n，切線時，注意點Q是否在y軸上，利用點斜式就可以求出切線方程.
【例3】已知拋物線y2=2x，過點Q（2，3）作一直線與拋物線有且只有一個交點，求這條直線的方程.
解：把點Q的坐標代入拋物線方程得：左邊=32=9，右邊=2×2=4.
∴左邊>右邊，∴點Q在拋物線外.
∴過點Q可以作三條直線與拋物線有且只有一個交點，其中有兩條是切線及一條是交線.
∵Q點不在y軸上，∴交線為y=3，與拋物線有且只有一個交點.
將切線設為：y-3=k(x-2)，則y=［kx+(3-2k)］，
代入拋物線方程得:［kx+(3-2k)］2=2x，即k2x2-2(2k2-3k+1)x+(3-2k)2=0.
∵k≠0，∴Δ＝4(2k2-3k+1)2-4k2(3-2k)2=0，
即4k2-6k+1=0，則k=34±54，
故切線為y-3=(34±54)(x-2).
綜合所求直線方程為：y=3，y-3=(34±54)(x-2).
綜合上述過一點引直線與圓錐曲線有且僅有一個交點的情況，首先是判斷點與圓錐曲線的位置關系，其次判斷能引幾條與圓錐曲線有且僅有一個交點的直線，最后利用點斜式設切線方程，解一元二次方程組，二次項系數為零或判別式為零求斜率，從而求出直線方程.
由于點、直線與圓錐曲線的位置關系與其他知識聯系既多又廣，因此，它的題型多而又活，常考常新.所以，掌握好點、直線與圓錐曲線的位置關系是很有必要的.希望同學們可以根據上述內容，尋找到適合自己的解決點、直線與圓錐曲線的位置關系的判別方法.
(責任編輯金鈴）
