一箭穿心
2011-12-31 00:00:00湯自贏
中學教學參考·理科版 2011年10期
平面向量既具有幾何性質如平行、垂直、夾角等特征，又具備代數性質，我們可利用向量解決直線或射線、線段經過三角形的四心（重心、垂心、外心、內心）問題.
一、三角形的垂心是三角形三條高的交點
判斷一點為垂心的方法：
（1）兩條高線的交點；（2）該點和頂點的連線和對邊垂直.
【例1】P是△ABC所在平面上一點，若PA#8226;PB=PB#8226;PC=PA#8226;PC，則P為△ABC的（）.
A．重心B.垂心C.外心D.內心
分析：由PA#8226;PB=PB#8226;PC得PB#8226;（PA-PC）=0，而PA-PC=CA，所以PB#8226;CA
=0，就是說PB⊥CA.同理，PA⊥CB，PC⊥BA，所以P為△ABC的垂心.
【例2】△ABC的外接圓的圓心為O，若OH=OA+OB+OC
，則H為△ABC的().
A．重心B.垂心C.外心D.內心
分析：若OH=OA+OB+OC，
則OH-OA=OB+OC，
即AH=OB+OC.
取BC中點D，連接OD，因為O為外心，OD垂直平分BC.所以AH=OB+OC=2OD
，故AH∥OD，OD⊥BC，AH⊥BC.同理，BH⊥AC，CH⊥BA.所以H為△ABC的垂心.選B.
二、三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點
判斷一點為外心的方法：
（1）兩條邊的垂直平分線的交點；（2）該點到三角形三個頂點的距離相等.
【例3】△ABC的垂心為H，O為平面上的一點，若OH=OA+OB+OC
，則O為△ABC的().
A．重心B垂心C外心D內心
分析：若OH=OA+OB+OC，
則OH-OA=OB+OC，
即AH=OB+OC
.取BC中點D，連接OD，OD平分BC.所以AH=OB+OC
=2OD，故AH∥OD，AH⊥BC，
OD⊥BC.所以OD垂直平分BC.同理可證OE垂直平分AB（E為AB的中點），所以O為△ABC的外心.選C.
三、三角形的內心是三角形三內角平分線的交點
判斷一點為內心的方法：
（1）兩內角平分線的交點；（2）該點到三角形三邊的距離相等；
（3）三角形內角平分線性質定理的逆定理.
【例4】O為△ABC所在平面內一定點，若ABC平面內有一動點P滿足關系式
OP=OA+λ（AB|AB|+AC|AC|），λ∈［0，+∞），則點P經過△ABC的（）.
A．重心B.垂心C.外心D.內心
圖1
分析：本題的關鍵是弄清楚λ（AB|AB|+AC|AC|）表示什么向量，如圖1可設AB|AB|=AD，AC|AC|=AE，則AD和AE分別是AB、AC方向上的單位向量，
所以AB|AB|+AC|AC|的方向為∠BAC的角平分線的方向.所以P的軌跡一定通過△ABC的內心，選D.
四、三角形的重心是三角形三條中線的交點
判斷一點為重心的方法：
（1）兩條中線的交點；
（2）中線上的點到頂點的距離是到對邊中點距離的二倍.
【例5】在△ABC中，若OA+OB+OC=0，則O為△ABC的（）.
A．重心B.垂心C.外心D.內心
圖2
分析：若OA+OB+OC=0，則OA=-(OB+OC)，若取BC中點D，OB+OC=2OD
，因為OA+OB+OC=0，
所以OA=-2OD，
∴A、O、D共線且AD平分BC.∴點O在BC邊的中線上，同理，點O分別在AB、AC邊的中線上，∴點O為△ABC的重心.選A.
【例6】O為△ABC所在平面內一定點，若ABC平面內有一動點P滿足關系式
OP=OA+λ（AB|AB|sinB+AC|AC|sinC），λ∈（0，+∞），則AP經過△ABC的（）.
A．重心B.垂心C.外心D.內心
分析：由OP=OA+λ（AB|AB|sinB+AC|AC|sinC）得AP＝λ（AB|AB|sinB+AC|AC|sinC），因為|AB|sinB=|AC|sinC，所以AP=λ(AB|AB|sinB+AC|AB|sinB)=λ|AB|sinB#8226;2AD
(D為BC的中點)，所以A、P、D共線.即AP經過△ABC的重心.選A.
通過以上例題可以看出，用向量判斷一線經過三角形的四心情況時，要利用三角形的四心性質和向量的有關運算，進行綜合分析，結合圖象得出結論.
(責任編輯金鈴）
