例析數列求和的常用方法

數列求和是近年高考命題的一個熱點問題，掌握一些數列求和的方法和技巧可以提高解決此問題的能力.本文例析了一些常用的數列求和方法，供大家參考.

一、公式法

利用已知的求和公式來求和，如等差數列與等比數列求和公式.

【例1】（2010，重慶）已知｛an｝是首項為19，公差為-2的等差數列，Sn為｛an｝的前n項和.（I）求通項an及Sn；（Ⅱ）設｛bn-an｝是首項為1，公比為3的等比數列，求數列｛bn｝的通項公式及其前n項和Tn.

解：（I）因為｛an｝是首項為a1=19，公差d=-2的等差數列，所以an=19-2(n-1)=-2n+21

；Sn=19n+n(n-1)2#8226;(-2)=-n2+20n；（Ⅱ）由題意bn-an=3n-1，所以bn=3n-1-2n+21，Tn=Sn+(1+3+…+3n-1)=-n2+20n+3n-12.

二、倒序相加法

將一個數列倒過來排序（倒序），當它與原數列相加時，若有因式可提，并且剩余的項的和易于求得，則這樣的數列可用倒序相加法求和.

【例2】已知f(x)滿足x1，x2∈R，當x1+x2=1時，f(x1)+f(x2)=12，若Sn=f(0)+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f(1)，n∈N

，求Sn.

解：∵Sn=f(0)+f(1n）+…+f(n-1n)+f(1)，n∈N，

①

∴Sn=f(1)+f(n-1n)+f(2n)+…+f(1n+f(0)，n∈N，②

①+②整理后可得Sn=14(n+1).

三、錯位相減法

這種方法主要適用于求數列｛an#8226;bn｝的前n項和，其中｛an｝、｛bn｝分別是等差數列和等比數列.（這是推導等比數列的前n項和公式時所用的方法）

【例3】（2010，全國）設數列｛an｝滿足a1=2，an+1-an=3#8226;22n-1.（1）求數列｛an｝的通項公式；（2）令bn=nan，求數列｛bn｝的前n項和Sn.

解：（1）略；（2）由bn=nan=n#8226;22n-1知Sn=1#8226;2+2#8226;23+3#8226;25+…+n#8226;22n-1①，從而22#8226;Sn=1#8226;23+2#8226;25+3#8226;27+…+n#8226;22n+1②，①-②得(1-22)#8226;Sn=2+23+25+…+22n-1-n#8226;22n+1

，即Sn=19［(3n-1)22n+1+2］.

四、分組求和法

所謂分組求和法，即將一個數列中的項拆成幾項，轉化成特殊數列求和.

【例4】（2009，全國Ⅰ）在數列｛an｝中，a1=1，an+1=(1+1n)an+n+12n

.（I）設bn=ann，求數列｛an｝的通項公式；（Ⅱ）求數列｛an｝的前n項和Sn.

解：（Ⅱ）由（I）知an=2n-n2n-1，Sn=

nk=1(2k-k2k-1)=

nk=1(2k)-

nk=1

k2k-1

，

而nk=1(2k)=n(n+1)，又nk=1k2k-1是一個典型的錯位相減法模型，易得nk=1k2k-1=4-n+22n-1，

∴Sn=n(n+1)+n+22n-1-4.



五、恒等式法

利用恒等式，如1+2+3+…+n=n(n+1)2，12+22+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1)

等公式.

【例5】求數列1#8226;n，2(n-1)，3(n-2)，…，n#8226;1的和.

解：Sn=1×n+2(n-1)+3(n-2)+…+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1=n(1+2+3+…+n)-［1×2+2×3+3×4+…+n(n-1)］=n2(n+1)2-n(n-1)(n+1)3=n(n+1)(n+2)6.



六、拆項（裂項）、并項相消法

若數列｛an｝能裂項成an=f(n+1)-f(n)，即所裂兩項具有傳遞性（即關于n的相鄰項，使展開后中間項能全部消去）.

【例6】（2010，山東）已知等差數列｛an｝滿足：a3=7，a5+a7=26，｛an｝的前n項和為Sn．（I）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=1a2n-1(n∈N*)，求數列｛an｝的前n項和Tn．

解：（Ⅱ）由（I）知an=2n+1，所以bn=1a2n-1=1(2n+1)2-1=14#8226;1n(n+1)=14#8226;(1n-1n+1)

，所以Tn=14#8226;(1-12+12-13+…+1n-1n+1)=14#8226;(1-1n+1)=n4(n+1)，即數列｛bn｝的前n項和Tn=n4(n+1).

七、通項化歸法

該法是把數列的通項公式先求出來，再利用數列的特點求和.

【例7】求數列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+…+n

的前n項和Sn.

解：∵an=2n(n+1)，所以Sn=2(1-12)+2(12-13)+2(13-14)+…+2(1n-1n+1)

=2［1+(-12+12)+(-13+13)+…+(-1n+1n)-1n+1］=2(1-1n+1)=2-2n+1.



八、利用周期性求和

若數列｛an｝都有an+T=an（其中n∈N0，N0為給定的自然數，T≠0），則稱數列｛an｝為周期數列，其中T為其周期.

【例8】（2009，江西）數列｛an｝的通項an=n2#8226;(cos2nπ3-sin2nπ3)，其前n項和為Sn，則S30為（）.

A．470B．490C．495D．510

解：由于｛cos2nπ3-sin2nπ3｝以3為周期，故S30=(-12+222+32)+(-42+522+62)+…+(-282+2922+302)=10k=1［-(3k-2)2+(3k-1)22+(3k)2］=10k=1（9k-52）=9×10×112-25=470.

故選A.

以上是數列求和的常用方法，另外還有導數法、待定系數法、組合數法、極限法求和、歸納猜想證明法、有限差分法、遞推法、階差法、有理化法等方法.當解決某一具體問題時，選用恰當的方法可以提高解決此問題的效率.

(責任編輯金鈴）