分段函數復習指要

函數是高中數學教學的重要內容之一，分段函數又是函數的難點部分.本文就分段函數的有關問題進行整理、歸納.

一、分段函數的含義

所謂“分段函數”，是指有些函數在其定義域中，對于自變量的不同取值范圍，對應關系也不同，這樣的函數就叫作分段函數.在教學中應注意強調以下兩點：

（1）分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數；

（2）分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

二、分段函數的求值問題

【例1】已知f(x)＝x-1(x＞3)；5(x=3)；f［f(x+2)］+1(x＜3)，求f(-1)和f(0)的值.

解：f(1)=f［f(1+2)］+1=f［f(3)］+1=f(5)+1=(5-1)+1=5，

∴f(-1)=f［f(-1+2)］+2=f［f(1)］+1=f（5）+1=5.

同理可求得f(0)=6.

三、求分段函數的解析式

1.與奇偶性相關的分段函數

【例2】已知f(x)是R上的奇函數且x＞0時，f(x)=ex-lnx2，求f(x)的解析式.

解：∵f(x)是R上的奇函數，∴f(0)=0，又x＞0時f(x)=ex-lnx2，∴x＜0時，-x＞0，∴f(-x)=e-x-lnx2，又f(x)=f(-x)，

∴-f(x)=e-x-lnx2，

∴f(x)=lnx2-e-x.

∴f(x)=e2-lnx2(x＞0)；0(x=0)；lnx2-1ex(x＜0).

2.與絕對值相關的分段函數

【例3】已知f(x)=|1-4x|，求f［f(x)］的解析式.

解：∵f(x)=|1-4x|=1-4x(x≤14）；4x-1(x＞14)，

∴f［f(x)］=|1-4f(x)|＝

|1-4(1-4x)|(x≤14)；

|1-4(4x-1)(x＞14)

=

|16x-3|(x≤14)；

|5-16x|(x＞14)

＝

3-16x(x≤316)；

16x-3(316＜x≤14)；

5-16x(14＜x≤516)；

16x-5(x＞516).



3.與周期相關的分段函數

【例4】已知f(x)是定義在R上以2為周期的函數且f(x)=-x(-1＜x≤0)；x2(0＜x≤1)，求f(x)在(2k-1，2k+1)上的解析式(k∈Z).

解：∵f(x)=-x(-1＜x≤0)；x2(0＜x≤1)，



∴當x∈(2k-1，2k］時，x-2k∈(-1，0］，∴f(x-2k)=-(x-2k)=2k-x.

又f(x)是以2為周期的函數，∴f(x-2k)=f［(x-2k)+2k］=f(x)，

∴f(x)=2k-x.

當x∈(2k，2k+1］時，x-2k∈(0，1］，∴f(x-2k)=(x-2k)2，

又f(x-2k)=f(x)，∴f(x)=(x-2k)2.

∴f(x)=2k-x(2-1＜x≤2k)；(x-2k)2(2k＜x≤2k+1)，k∈Z.



H(x)x2-3x-1(x≤-1)x+4(-1＜x＜5)x2-3x-1(x≥5)

四、分段函數與其它知識相聯系的一些問題

【例5】已知：f(x)=

2xx2+1(x≥1)；

ax+11(-1＜x＜1)；

x2+(a+4)x+a2+11a+42(x≤-1)，

且f(x)是R上的的單調函數，求實數a的取值范圍.

解：當x≥1時，f(x)=2xx2+1，f′(x)=2(1-x2)(x2+1)2≤0，

∴f(x)在(1，+∞）上是減函數，且f(1)=1.

由題意知y=ax+11在(-1，1)上是減函數，∴a＜0且還應滿足y|x=1≥f(1).



∴a+11≥f(1)=1a≥-10.

令g(x)=x2+(a+4)x+a2+11a+42(x≤-1)，依題意x≤-1時，g(x)是減函數，

∴對稱軸不能位于直線x=1的左邊，∴a+4-2≥-1a≤-2.

另外還應滿足g(-1)≥a(-1)+11a2+11a+28≥0a≤-7或a≥-4.

綜上所述可得實數a的取值范圍是{a|-10≤a≤-7或-4≤a≤-2}.

(責任編輯金鈴）