中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)教育家G#8226;波利亞指出：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題，不僅善于解一些標(biāo)準(zhǔn)的題，而且善于解一些要求獨(dú)立思考、思路合理、見(jiàn)解獨(dú)到和有發(fā)明創(chuàng)造的題.”在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生雖然做了許多數(shù)學(xué)題，但解題能力卻提高不大，以致在日后的學(xué)習(xí)中，碰到稍有變化，甚至已經(jīng)做過(guò)的題目，仍然不會(huì)做，究其原因，其中之一就是受到思維定勢(shì)的消極影響.

所謂思維定勢(shì)是指由于事先的做法(或習(xí)慣)而造成的一種心理準(zhǔn)備狀態(tài)，它使人們以比較堅(jiān)固的方式去認(rèn)識(shí)(行動(dòng)).雖然在不變的情況下，定勢(shì)有助于學(xué)生對(duì)所要解決的問(wèn)題作出迅速反應(yīng)，但在變化的情況下，思維定勢(shì)常常阻礙學(xué)生找到新的方法去解決新的問(wèn)題.逆向思維則從反面觀察事物，去做與習(xí)慣性思維方向完全相反的探索，順推不行時(shí)考慮逆推解決，探討可能性發(fā)生困難時(shí)考慮探討不可能性，由此尋求出解決問(wèn)題的方法.

因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)重視對(duì)學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)，加強(qiáng)學(xué)生逆向思維能力的訓(xùn)練，這將有助于學(xué)生智力的開發(fā)，使學(xué)生順向、逆向思維同步發(fā)展.

一、充分利用公式、法則、定義的可逆性，進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練

數(shù)學(xué)公式、概念、法則等都是充要條件，均為可逆的，如乘法公式與因式分解，積化和差與和差化積公式等.

【例1】求81001×(0.125)1000的值.

由同底數(shù)冪相乘的法則和積的乘方式(ab)n=anbn，，am#8226;an=am+n可得anbn=(ab)n，am+n=am#8226;an.

∴原式=81+1000×(0.125)1000

=81×81000×(0.125)1000

=8×(8×0.125)1000

=8.

二、用分析法與逆向思維結(jié)合

分析法是執(zhí)果索因，就是要證得結(jié)論，需要找出什么，簡(jiǎn)稱“需知”，這個(gè)過(guò)程就是逆向思維.在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)充分利用分析法這一證明方法，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，教會(huì)學(xué)生從結(jié)論出發(fā)，尋求其成立條件.

【例2】100人站成一橫排，自1起依次報(bào)數(shù)，報(bào)奇數(shù)者離隊(duì)，留下者再次自1起報(bào)數(shù)，凡報(bào)奇數(shù)者又離隊(duì)，如此下去，最后留下一人，問(wèn)這人第一次報(bào)數(shù)為多少?

分析：本題若由一次次報(bào)數(shù)順推，則須先考慮從100人中去掉1，3，5，…，99的人，然后再報(bào)數(shù)，繼續(xù)去掉奇數(shù)的人，這樣相當(dāng)繁瑣，考慮用逆推法.

解：由于最后留下的人一定是歷次報(bào)數(shù)中都得報(bào)偶數(shù)者，所以他第一次報(bào)的數(shù)一定是100以內(nèi)的2的最高次冪，因?yàn)?6=64，27=128，所以這個(gè)人第一次報(bào)的數(shù)一定是64.

三、利用從結(jié)論反求原題的形式結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

【例3】不等式ax2+px-6＜0的解為-3＜x＜2，試求a、p的值.

分析：如果用順向思維先解含有字母系數(shù)的不等式，求得的解再與-3＜x＜2比較，進(jìn)而討論，才求得a、p，求解過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜.

若用逆向思維，深刻理解不等式的意義，結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，逆向運(yùn)用概念，問(wèn)題就很快轉(zhuǎn)化為下列方程組：

a#8226;(-3)2+p#8226;（-3）-6=0，a#8226;22+2p-6=0，



從而求得a=p=1.

如果熟悉因式分解可知(x+3)(x-2)＜0的解為-3＜x＜2，∴(x+3)(x-2)＜0，

即x2+x-6＜0，所以a=p=1.

四、從問(wèn)題的對(duì)立面尋求解法

一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題大體包括其正面與對(duì)立面(反面)兩個(gè)兼容條件，它們互相依存，解決它們?nèi)糁粡恼嫠伎?，可能顯得笨拙，似有“法不從心”之感，如果換個(gè)角度，從其對(duì)立面著手進(jìn)行逆向思維，也許就會(huì)變得很容易.

【例4】已知關(guān)于x的方程x3+2ax2+a2x+a-1=0，其中參數(shù)a的范圍為-3＜a＜1，試求x的值.

分析：由于原方程是關(guān)于x的一元三次方程，且含有參數(shù)a，求解比較困難，由觀察知：參數(shù)a的最高次數(shù)為2，若經(jīng)過(guò)換位比較，即視a為變量，而得原方程為關(guān)于a的一元二次方程，從而求出a，再還原x.

解：∵-3＜a＜1，∴a≠1，故x≠0，

∴原方程為xa2+(2x2+1)a+x3-1=0，

解之得：a=-(2x2+1)±(2x+1)2x.

由此得a1=1-x，a2=-x2+x+1x，

即x=1-a或x2+(a+1)x+1=0.

∵Δ=(a+1)2-4，而-3＜a＜1，

∴Δ＜0，故原方程無(wú)實(shí)數(shù)解.

∴x=1-a.

五、利用非常規(guī)方法，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有很多常規(guī)方法可循，如根式運(yùn)算中的分母有理化，分式加減中的通分、合并同類項(xiàng)，三角加減中的和差化積等，但有些問(wèn)題的解決，靠常規(guī)方法是不能奏效的，必須調(diào)整思維方向，用非常規(guī)方法解決.

【例5】小販把所有西瓜的一半又半個(gè)賣給第一位顧客，又把余下的一半又半個(gè)賣給第二個(gè)顧客，就這樣，他把所余西瓜的一半又半個(gè)賣給以后的各位顧客，賣給七位顧客后，他一個(gè)西瓜也沒(méi)有了，問(wèn)這位小販原有多少西瓜?

分析：設(shè)小販原有x個(gè)西瓜，則

第一次賣了(x2+12)個(gè)；

第二次賣了［(x-x2-12)÷2+12］個(gè)；

…

這種做法很繁，如果反過(guò)來(lái)，第七位顧客把第六位顧客買剩下的瓜的一半又半個(gè)買走后小販就沒(méi)有西瓜了，可推得第七位顧客買了一個(gè)瓜(即第六位顧客買后只剩下一個(gè)瓜)，而且第五位顧客買后剩下(1+0．5)×2個(gè)瓜(即3個(gè)瓜)，所以只要算出某位顧客買后剩下的瓜數(shù)，如此類推，即可得到答案，這種逆推的過(guò)程可列成下表形式：

買瓜數(shù)

剩下瓜數(shù)

第七個(gè)顧客

1

0

第六個(gè)顧客

2

(0+0.5)×2=1

第五個(gè)顧客

4

(1+0.5)×2=3

第四個(gè)顧客

8

(3+0.5)×2=7

第三個(gè)顧客

16

(7+0.5)×2=15

第二個(gè)顧客

32

(15+0.5)×2=31

第一個(gè)顧客

64

(31+0.5)×2=63

可知小販原有西瓜127個(gè).

六、利用反證法思想，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

反證法是一種簡(jiǎn)明的實(shí)用的數(shù)學(xué)方法，多適用于證明題，它獨(dú)特的思維方式就是利用逆向思維，通過(guò)證明原命題的反論題為假，從而間接確定原命題為真的一種證明方法，它的基礎(chǔ)原理在于：“若肯定原命題的假設(shè)而否定其結(jié)論，就導(dǎo)致矛盾.”

【例6】初一有400名學(xué)生，求證：其中至少有兩個(gè)學(xué)生的生日是相同的.

分析：如果順向證明，逐一舉例、假設(shè)，無(wú)法做到.反過(guò)來(lái)想，假設(shè)400名學(xué)生的生日都不相同，那么一年將有400天，這與客觀事實(shí)矛盾，所以原命題成立.

在教學(xué)中，教師要把思維活動(dòng)交給學(xué)生，讓學(xué)生去體會(huì)，去模仿創(chuàng)造、自覺(jué)運(yùn)用.教育改革的主體是能力，核心是思維，讓學(xué)生獨(dú)立思考，必須根據(jù)學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律和接受原則，對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行培養(yǎng).

(責(zé)任編輯金鈴）