導數在圓錐曲線中的妙用

導數是目前中學數學與高等數學的一個重要的銜接點，導數的思想方法和基本理論有著廣泛的應用，特別是在函數、解析幾何、不等式、數列等內容交叉滲透的綜合性問題上，使用導數的知識和方法解決，不僅使問題的解答顯得簡捷、巧妙，而且還給人耳目一新的感覺，展現了數學的奇異美.

下面就一道圓錐曲線的切線問題來展現導數的妙用.

【例1】求橢圓4x2+9y2=25在點P(2，1)處的切線方程與法線方程.

解法一：設在點P(2，1)處的切線方程為y-1=k(x-2)，

則聯立方程4x2+9y2=25，y-1=k(x-2)，

消去y得

(9k2+4)x2-18(2k-1)kx+4(9k2-9k-4)=0，

所以

Δ=［-18(2k-1)k］2-4(9k2+4)［9k2-9k-4］.

由題意知Δ=0，整理得(9k+8)2=0，

∴k=-89.

所以點P處的切線方程為：y-1=-89(x-2).

即8x+9y=25.

設點P處的法線方程為9x-8y=m，

將P（2，1）代入上式得m=10，

所以點P處的法線方程為：9x-8y=10.

解法二：代數式4x2+9y2=25兩邊對x求導，得8x+18y#8226;dydx=0，∴dydx=-4x9x.



在P(2，1)處切線斜率k=-4×29×1=-89，



所以點P處的切線方程為：y-1=-89(x-2)，

即8x+9y=25.

設點P處的法線方程為9x-8y=m，

將P(2，1)代入上式得m=10，

所以P處的法線方程為：9x-8y=10.

點評：解法一是一般性方法，通過聯立方程，消參，再利用判別式求切線的斜率，運算量比較大，學生在解決這類問題時，往往在運算上感覺比較困難；解法二是巧妙利用導數，在代數式兩邊對x求導，再求出微商dydx，進而代入切點坐標，迅速求出切線的斜率，方法簡單，給人耳目一新的感覺.

【例2】求過P(3，-2)與橢圓x29+y24=1

相切的直線方程并求切點坐標.

解析：設Q(x0，y0)為切點，由x29+y24=1兩邊對x求導，得2x9+2y4#8226;dydx=0，

∴dydx=-4x9y.



所以切線斜率k=-4x09y0，又k=y0+2x0-3，

整理得2x0-3y0=6.①

∵Q(x0，y0)在橢圓上，

∴4x20+9y20=36.②

由①②得

x0=0，y0=-2，

或x0=3，y0=0.



所以切線方程為x=3，切點為（3，0）；

或y=-2，切點為（0，-2）.

點評：本題是切點不一定在曲線上的情況，設出切點，可以用導數法先求微商dydx，再代入切點坐標得出切點坐標的一個關系式，

同樣可以避免聯立方程，減少運算量，使題目迅速得到解決.

有關導數的內容，在新課程改革以來，高考試題對該部分的考查在逐年加深.特別是綜合考查，包括解決應用問題，將導數內容和傳統內容中有關不等式和函數的單調性或者圓錐曲線的切線斜率等有機地結合在一起.靈活運用導數解題，往往會使問題的解答顯得簡捷、巧妙.

(責任編輯金鈴）