韋達(dá)定理在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用例析

韋達(dá)定理是一元二次方程理論的重要組成部分，該定理思維巧妙、內(nèi)涵深刻，利用它可以靈活、方便地解決很多問題.

【例1】（2008，南寧市中考數(shù)學(xué)試題第6題）如果x1、x2是方程x2-2x-1=0的兩個根，那么x1+x2的值為（）.

A.-1B.2C.1-2D.1+2

分析：這個題目可以先用一般方法求出方程的兩個根，再代入代數(shù)式求值.但如果知道韋達(dá)定理，直接利用定理的結(jié)論馬上得到答案，大大節(jié)省了時間.

【例2】求3x2+2x-9=0的兩個根的倒數(shù)和與平方和.

分析：可以先求出方程的兩根，再計算兩個根的倒數(shù)和與平方和，但那將是非常繁瑣的.應(yīng)用韋達(dá)定理可以簡化計算過程，但關(guān)鍵是找到：兩根倒數(shù)和、平方和與兩根的和與積之間的關(guān)系.

【例3】已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2，求它的另一個根和k的值.

分析：本題可以根據(jù)方程根的意義先求出k的值，再解方程求出另一根:把x=2代入方程得k=-2，原方程為x2+x-6=0，再用一般方法解這個方程，得出方程的另一個根為-3.如果利用韋達(dá)定理就會簡便很多：設(shè)另一根為x1，由韋達(dá)定理得

x1+2=k+1，

2x1=3k，

解得x1=-3，k=-2.

答:方程的另一根為-3，k的值為-2.

【例4】已知方程2x2-2x-k=0的一個根為1+2，求另一根及k的值.

【例5】已知方程x2-2(m2-1)x-3m=0的兩根互為相反數(shù).則m等于().

A.1B.-1C.±1D.0

【例6】（人教版九年級上冊課本P43第11題）有一根20m長的繩，怎樣用它圍成一個面積為24m2的長方形？一般解法是：設(shè)圍成的長方形的長為xm，則寬為（10-x）m，根據(jù)題意，列方程得：x（10-x）=24.整理得x2-10x+24=0，解得x1=4，x2=6；當(dāng)x1=4時，10-x=6；當(dāng)x2=6時，10-x=4.因此圍成的長方形的長和寬分別為6m、4m.

本題還有另一種解法：分析題意發(fā)現(xiàn)：圍成的長方形的長+寬=10m，長×寬=24m2.如果把長和寬分別看作是兩個數(shù)，那么相當(dāng)于知道了兩個數(shù)的和為10，兩個數(shù)的積為24，由韋達(dá)定理可知，圍成的長方形的長、寬可以看作是方程x2-10x+24=0的兩個根，解這個方程得x1=4，x2=6.因此圍成的長方形的長和寬分別為6m、4m.

同樣的，人教版九年級上冊課本P48第3題：一個直角三角形的兩條邊的和是14cm，面積是24cm2求兩條直角邊的長.也可用類似的解法：設(shè)一條直角邊長xcm，則另一條直角邊長（14-x）cm，根據(jù)題意得，x（14-x）=24×2.整理得x2-14x+48=0，解之得x1=8，x2=6；當(dāng)x1=8時，14-x=6；當(dāng)x2=6時，14-x=8.因此這個直角三角形的兩條直角邊的長分別為6cm，8cm.

經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，本題的已知條件是：一個直角三角形的兩條直角邊的和是14cm，兩條直角邊的積是48cm2.相當(dāng)于知道了兩個數(shù)的和與積.所以本題還有另一種解法:由韋達(dá)定理，這個直角三角形的兩條直角邊可以分別看作是方程x2-14x+48=0的兩個根，解這個方程得x1=8，x2=6，因此這個直角三角形的兩條直角邊的長分別為6cm，8cm.

在以上兩題的解題過程中，第一種解法是傳統(tǒng)的方法，一般學(xué)生都懂得怎樣設(shè)未知數(shù)，列出相應(yīng)的方程，得出方程的解.但有相當(dāng)一部分學(xué)生，得出方程的兩個根之后，馬上作出回答.他們沒有注意到：方程的解僅僅是長方形的長（直角三角形的一條直角邊），還要代入所設(shè)的另一個代數(shù)式才能求出長方形的寬（直角三角形的另一條直角邊），最后才得出問題的答案.因此，采用這種方法來解題的學(xué)生有很多雖然答案正確，但過程不完整，導(dǎo)致得不到滿分.而采用第二種解法則沒有這樣的擔(dān)憂，只要所設(shè)的方程對，一般就會得到完整的答案.

韋達(dá)定理在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用當(dāng)然不止以上所列舉的幾個例子，但根據(jù)教材的編排目的以及由初中生的年齡特點(diǎn)和他們的接受能力水平等限制，對于接受能力較好的學(xué)生，能利用它來解決以上幾種類型的題目就可以了.在教學(xué)時，怎樣引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟動學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)需，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可利用性？我想，很重要的一點(diǎn)就是，在傳授一個知識點(diǎn)時，教師都應(yīng)能抓住事物的本質(zhì)，善于總結(jié)解題方法，讓學(xué)生看到它的作用，或者說是讓學(xué)生看到學(xué)習(xí)它所帶來的樂趣，學(xué)生才會愿意學(xué).

(責(zé)任編輯金鈴）