易混對比 歸納總結(jié)

數(shù)學(xué)的思想就是由一種形態(tài)與另一種形態(tài)的對比和關(guān)系的轉(zhuǎn)化．要解決好一個數(shù)學(xué)問題，我認(rèn)為首先要對一個數(shù)學(xué)問題構(gòu)成的結(jié)構(gòu)有充分的認(rèn)識，再熟知一些推演關(guān)系的基本手段及方法．其次，要善于把問題的題設(shè)和結(jié)論溝通起來，借助已有的（盡可能多的）數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)理論，從而順利地解決問題．

下面通過對幾道高考題的數(shù)學(xué)形態(tài)的內(nèi)在基本結(jié)構(gòu)進行比較分析和研究來闡述認(rèn)識和分析一些基本結(jié)構(gòu)，并了解它們的“通性”的重要性.

一、對相似基本結(jié)構(gòu)要注重對細微變化進行對比研究和分析

【例1】(1)O為平面上一定點，點A、B、C不共線，動點P滿足：

OP=OA+λ(AB|AB|+AC|AC|)

，λ∈［0，+∞)，則P的軌跡一定過△ABC的（）.

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

(2)O為平面上一定點，點A、B、C不共線，動點P滿足：

OP=OA+λ(AB|AB|sinB+AC|AC|sinC)

，λ∈(0，+∞)，則P的軌跡一定過△ABC的（）.

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

(3)O為平面上一定點，點A、B、C不共線，動點P滿足：

OP=OA+λ(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC)

，λ∈(0，+∞)，則P的軌跡一定過△ABC的（）.

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

(4)O為平面上一定點，點A、B、C不共線，動點P滿足：

OP=OB+OC2+

λ(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC)

，λ∈(0，+∞)，則P的軌跡一定過△ABC的（）.

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

剖析：（1）在已知條件

OP=OA+λ(AB|AB|+AC|AC|)

中，AB|AB|、

AC|AC|

分別為AB、AC方向上的單位向量，由向量加法的平行四邊形法則可得AB|AB|+

AC|AC|為以AB，AC方向上的單位向量構(gòu)成的菱形的對角線，據(jù)菱形的對角線互相平分可得AP與∠BAC的角平分線共線，所以動點P的軌跡一定過△ABC的內(nèi)心.

（2）本題中也有

AB|AB|、

AC|AC|

這一結(jié)構(gòu)，但并無進一步的發(fā)展空間.此時重點應(yīng)放在結(jié)構(gòu)的變化上，即三角形中的“正弦”.而高中階段與之有關(guān)的只有正弦定理和三角形的面積公式.兩者均可將條件變形轉(zhuǎn)化為AP與AB+AC共線.故動點P的軌跡一定過△ABC的重心.

（3）該題可挖掘出ABcosB，ACcosC分別為向量的投影這一特性，但都沒法取得更有價值的突破.此題分析應(yīng)注重在（3）與（1），（2）的結(jié)構(gòu)差異——出現(xiàn)∠B、∠C的余弦，想到兩向量的夾角公式.又因為投影也是與垂直有關(guān)的概念，因此找與AB，AC構(gòu)成夾角的向量BC與之作內(nèi)積計算得

(AB|AB|cosB+

AC|AC|cosC)#8226;BC=0

，即

AB|AB|cosB+

AC|AC|cosC

與BC垂直.而AP與AB|AB|cosB+

AC|AC|cosC是共線關(guān)系，所以AP與BC垂直，故P的軌跡一定過△ABC的垂心.

（4）其基本結(jié)構(gòu)與（3）相似，將OB+OC2移到等式左邊，同理可得OP-OB+OC2

與BC垂直，那么此時即重在分析OP-OB+OC2

的含義.其結(jié)構(gòu)類似于中線向量，因此將OP-OB+OC2變形為

-PB+PC2

，即經(jīng)過線段BC的中點.又由中垂線性質(zhì)可得P的軌跡一定過△ABC的外心.

對一些結(jié)構(gòu)類似但有細微差別的典例，要注重差異性的分析和研究，尋找相似基本結(jié)構(gòu)間的共同點和不同點的聯(lián)系和差異，找準(zhǔn)解題的側(cè)重點或突破口對解題和鍛煉思維很有幫助.

二、對基本結(jié)構(gòu)中的相似的基本概念進行對比研究和分析

【例2】把函數(shù)y=sinx的圖象上的每個點都沿著向量(π4，12)的方向移動12π2+4個單位長度，所得點的軌跡方程是（）.

A．y=-2sin2x2

B.y=-2cos2x2

C.y=2sin2x2

D.y=2cos2x2

剖析：此題的基本結(jié)構(gòu)即與函數(shù)沿向量平移相似，但要注意沿著向量的方向移動與沿著向量移動這兩個基本概念的不同之處.沿著向量a=(m，n)移動不僅指明了移動的方向，而且指明是沿坐標(biāo)軸的兩個方向分別平移了m、n個單位長度.因此應(yīng)該把12π2+4個單位長度正交分解為x軸、y軸兩個方向上的長度.結(jié)合勾股定理將12π2+4變形為(π2)2+12，結(jié)合方向可知函數(shù)實際是向右平移了π2個單位長度，再向上平移了1個單位長度.由平移公式可得平移后函數(shù)方程為y=sin(x-π2)+1，化簡變形知C選項正確.

對題目中所涉及的基本概念進行對比分析，不僅僅是在認(rèn)清題意上是必須的，通過對概念的對比，化歸為所熟知的知識，也是我們尋找解題思路的一種方法和途徑.

三、對基本結(jié)構(gòu)間數(shù)符、字符和運算符的變化進行研究和分析

【例3】（1）函數(shù)f(x)=x+2+4-x

的值域是（）.

A．［6，23］

B.［6，+∞)

C.［0，26］

D.［0，6］

（2）函數(shù)f(x)=2x+4-x的值域是（）.

A．［2，4］

B.［0，25］

C.［4，25］

D.［2，25］

剖析：（1）用排除法很容易得選項A正確，但很多學(xué)生聯(lián)想到以往所訓(xùn)練過的題，如：當(dāng)函數(shù)為f(x)=x+2-4-x

時，由y=x+2和y=-4-x均在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可用函數(shù)單調(diào)性來求函數(shù)值域.當(dāng)函數(shù)變化為f(x)=x+2-x-4時，乍看無法求出函數(shù)的單調(diào)性，但根據(jù)根式常用的有理化方法可變形為f(x)=6x+2+x-4，

在定義域內(nèi)單調(diào)遞減.而該題學(xué)生也嘗試用有理化方法卻不得其解.有理化方法其根本是將分子平方差后變?yōu)槌?shù)，分母變減為加達到變形目的.實際上該題可將f(x)=x+2+4-x平方，達到化為常數(shù)的目的，即f2(x)=6+2(x+2)(4-x)

，在由二次函數(shù)在閉區(qū)間［-2，4］上的值域先求得f2(x)的范圍，開方后得f(x)的范圍.

（2）題中f(x)=2x+4-x不再具備平方達到化為常數(shù)的結(jié)構(gòu)，但有定義域為［0，4］且具備(x)2+(4-x)2=4的三角函數(shù)換元的結(jié)構(gòu).故可令x=2cosθ，4-x=2sinθ，其中

θ∈［0，π2］，

轉(zhuǎn)化為y=4cosθ+2sinθ，θ∈［0，π2］的值域.

基本結(jié)構(gòu)間數(shù)符、字符和運算符的變化雖然導(dǎo)致解題方法上的變化，但整體上的變形思想大體是不會改變的，為同一個目的，抓住某些特征不放，并嘗試多種方法是解題的關(guān)鍵，是能對問題舉一反三、反復(fù)推敲和思維靈活變化的體現(xiàn).

四、對有相同基本結(jié)構(gòu)的問題也要注重從不同視角研究和分析

【例4】（1）設(shè)3b是1-a和1+a的等比中項，則a+3b的最大值為().

A．1B.2C.3D.4

（2）若a是1+2b與1-2b的等比中項，則2ab|a|+2|b|的最大值為().

A．2515

B.24

C.55

D.22

剖析：這兩道題分別為2007年的重慶市高考文、理科題，它們的題設(shè)條件結(jié)構(gòu)相同，分別可得：a2+3b2=1，a2+4b2=1.顯然（1）題可采用換元法，令a=cosθ，b=sinθ3.則a+3b=cosθ+3sinθ=2sin(θ+π6)，得最大值為2.但對（2）題用換元法則沒有什么優(yōu)勢，事實上a2+4b2=1除平方和為1具備換元法的特征外，還具備“和定積最大”的均值不等式的特征.我們換個視角可由均值不等式得：a2+4b2=1≥4ab，又2ab|a|+2|b|≤2ab22|ab|=

2ab2≤24（當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時等號成立）.

對同一基本結(jié)構(gòu)需要全方位分析和研究，了解每一種典型的基本結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)形態(tài)中的作用以及處理它的一些常見的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)知識．

總之，數(shù)學(xué)問題中具代表性的基本結(jié)構(gòu)很多，我們在學(xué)習(xí)過程中要留心觀察和總結(jié)，認(rèn)真比較，仔細分析，反復(fù)思考，通過對數(shù)學(xué)問題的基本結(jié)構(gòu)進行深入的分析和研究，對各種基本結(jié)構(gòu)彼此關(guān)聯(lián)的本質(zhì)進行探索，掌握好處理數(shù)學(xué)問題的一般的數(shù)學(xué)思維方式和方法，才能真正掌握解決問題的本領(lǐng)．

(責(zé)任編輯金鈴）