解無理或分式方程是否必須驗根

教材是教學的依據，應該是教師可以放心地教，學生可以放心地學，沒有知識性錯誤。但對于在全國各類成人高等學校招生考試教材理工農醫類（中國社會出版社）第10頁中的解方程練習題目的答案解析，筆者不敢茍同。

原題目是：

題1類題目是無理方程，解法很多，常用的方法是，在方程兩邊同時乘方，去根號或利用換元法轉化為有理方程。解無理方程的基本思想是將無理方程轉化為有理方程。此教材的參考答案的解法為換元法。

題2類題目是分式方程，常見解法有因式分解法、去分母法、換元法，解題思想是將原分式方程整式化。此教材的參考答案的解法為去分母法。

教材中的標準答案：

1.解:令（１）

原方程化為（２）

解得

即，不合理，舍去（３）

y2=3即（４）

即x2-3x＋5=9（５）

解得x1=-1， x2 = 4 ；經驗證x1=-1， x2 = 4都是原方程的根。

2.解：原方程兩邊同乘以（x+1)(x-2) （６）

得x(x-2)-7=-(x+1) （７）

即x2-x-6=0 解得x1=-2 ， x2= 3；經驗證x1=-2 ，x2=3都是原方程的根注：此處兩個方程分別為無理方程和分式方程，故需驗根。

我們要談的主要是答案的最后的“注：此處兩個方程分別為無理方程和分式方程，故需驗根。”是否無理方程和分式方程的驗根是必需的？筆者認為是并非必需的。

在初中教材中只是要求掌握會用平方或換元法求無理方程的根，并會驗根，要求驗根的原因在于方程兩邊同乘方若干次數，有可能產生的增根；對于分式方程，要求掌握用去分母或換元法求不超過三個分式構成的分式方程的根解法，并會驗根，驗根的原因是在于為去分母而兩邊同乘的式子可能導致增根產生；而驗根的本質也就是將多余的增根去掉，顯然也是必不可少的。然而，對于同解方程（等價方程）來說是并非必要的。

含有未知數的等式稱之為方程，滿足方程的未知數稱為方程的解。并且，如果兩個方程的解相同，那么這兩個方程叫做同解方程，又稱“等值方程”“等價方程”。站在知識的更高度上，定義如此：如果兩個方程的解集相等，則稱它們為“同解方程”，或稱這兩個方程“同解”。判定方程是否同解，與給定的數域有關。如在實數域內，方程(x-3)(x2+4)=0與x-3=0同解，而在復數域內它們就不同解。易證f(x)=0與af(x)=0(a≠0）在實數范圍內同解，同理也得出f(x)=0與f(x)g(x)=0 (g(x)≠0)在實數范圍內同解。方程是等式，顯然滿足等式的性質。那么在方程的兩邊同時加上（或減去）同一個數，或方程兩邊同時乘以（或除以）一個不為零的數，仍為與原方程的等價方程。

以下是對上述兩題的解法做出同解性分析：

題1的解題過程中，方程進行了二次驗根，只是（3）式的驗根是必要的，因為在（1）到（2）式的變形是非同解過程，由（1）式與（2）式中的數域不同，y 的范圍已經從非負數擴充到了實數，結果出現了增根y1=-2。所以在這有必要進行驗根。

但若在第一次驗根前，在（2）式中加一限制條件，即變為y2-y-6=0(y≥0)（22），那從（1）到（22）就是等價變換，只解得y1=3，不會出現增根，也就無須驗證。

所以解無理方程驗根并非必要的。

第二次驗根更是不必要的，分析如下：

因為開2次方根后等于3的數僅且只有為9，所以由（4）變形到（5）式從算術意義上看是一個等價過程。（5）其實就是（4）經過兩邊平方，再移項并因式分解可得，兩邊同乘以+3＞0，顯然是同解方程。由于是同解方程，不可能出現增根，也就無須驗根。

解無理方程必須驗根是根據方程解變形的過程中方程兩邊同次乘方，所得方程和原方程不一定是同解方程，如：=x…(a)，兩邊平方后得x+2=x2…(b)，二者并不同解，從方程的定義域就可看出。可能產生增根，因而必須驗根。

但是解無理方程過程中均可考慮周到，在所得新方程的定義域加以限制，實現同解方程，然后避免驗根。

人教版數學八年級下冊2008年6月第2版在分式方程這一節中，舉例說明了解分式方程去分母時，兩邊同乘以最簡公分母的式子，得到整式方程。分式方程兩邊同乘一個不為零的式子，所得整式方程與原分式方程同解；若所乘式子為零，則出現分母為0的現象，顯然這個整式方程與原分式方程的解不同。

前面已經說明，若不是同解方程，那肯定是要驗根。因為題2與（7）式并非同解方程，所以在求解的最后進行了驗根，這當然是必要的。但解分式方程是否必須驗根，筆者不這么認為，分析如下：在題2的解法中，原方程兩邊同乘以最簡公分母(x+1)(x-1)且(x≠-1，2)，因為x=-1，2導致原分式方程分母為零，方程沒有意義。所以，排除導致分母不為零后所得的方程就與原分式方程同解。即是同解方程，也就無須驗根。所以解分式方程驗根不是必要的。

以上的分析充分體現了解分式方程或無理方程時驗根并不是必需的。當然在學生的解題過程中若方程不是等價變形，那么就須驗根了。但教材是教學的依據，教材是學生學習數學的主要材料，應具有極高閱讀價值，數學課程教材編制專家應充分考慮數學學科特點，精心編寫。

（作者單位：海南省高級技工學校）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文