把《數學分析》引進《復變函數》課堂的教學法

[摘要] 《復變函數》是《數學分析》的后續課程，前者的許多內容與后者既有著相同之處，又有著新的發展和不同。我們通過把《數學分析》引進《復變函數》的課堂進行教學，并積極讓學生走上講臺，提高學生的參與感。

[關鍵詞] 復變函數論 數學分析 知識體系 比較教學法

復變函數論，是在實函數基礎上產生和發展起來的一個數學分支，是應用數學、計算數學專業的一門重要基礎課，是《數學分析》的后續課程。它的許多內容與《數學分析》的知識體系既有著相同之處，同時又有著新的發展和不同。學習《復變函數》是進一步掌握分析學核心內容、提高數學專業素養，培養應用數學能力的重要途徑。因此，無論學習知識還是培養能力來看，《復變函數》的教學對數學專業的學生來說都十分重要。筆者從自身的教學實踐出發，談談自己在教學中的一些做法，尤其是把《數學分析》引進課堂的教學方法。

一、與《數學分析》的知識平行講解，消除學生與知識的距離感

《復變函數》的第一節課，總會有學生問道：“這門課難嗎？怎么有一種神秘感？”針對這個普遍的問題，教師在上課時不僅要明確復變函數論的重要性，還要消除學生的這種神秘感，拉近學生與這門課的距離，使之產生一種親切感。

《復變函數》一般是大學三年級的專業課，學生已經完整地學習過《數學分析》。通過對一元函數和多元函數微積分的學習，學生對微積分的核心內容已經很熟悉。如果能把微積分的知識點的學習程序引入到復變函數的課堂來，學生會有一種“親切感”，從而更愿意學。

我們知道，微積分的講解是沿著：函數——極限——連續——導數——積分——級數這一條主線來進行的，其中，研究對象是實函數，且極限的概念是整個微積分學的基礎，而我們整個對《復變函數》內容的講解也是沿著這條線進行的，只是把研究對象變成復數域上的函數。

雖然《復變函數》的知識體系與《數學分析》的相關知識有著非常密切的聯系，但是有些學生對《數學分析》沒有很好的掌握，反而會對《復變函數》產生恐懼感，甚至逃避學習。針對這些問題，首先，在教學中應該注重本課程與前期課程《數學分析》的銜接，這既是對《數學分析》相關知識的復習，也是對本課程知識的鋪墊；其次，在教學過程中應該注意到這兩門課的不同之處，采用比較教學法，從而使得學生更好地掌握這兩門課的異同，加深印象，便于理解和記憶。

二、把《數學分析》的相關內容推廣到復數域，引入《復變函數》的內容，激發學生的興趣

《復變函數》是《數學分析》在復數域上的延拓，在知識結構、理論體系、研究方法等方面，二者都緊密相關。因此，我們在本課程的教學上，有必要把《數學分析》的相關內容引進來，讓學生在復習舊知識的基礎上，吸收新內容，并更新自己的分析知識。

我們通過一個例子來說明一下。在學生復變函數的積分時，已經學習了復變函數的極限和導數（解析性）兩章，這時，很多同學已經發現：《數學分析》的很多研究途徑可以移植到本課程的學習中。這時，不妨讓同學先回想一下一元函數積分的定義，即分割、取點、求和、取極限等步驟來建立，這是二重積分、三重積分、曲線積分的基礎，再讓他們回想曲線積分的定義。在回憶起舊知識的基礎上，稍微修改一下，即可很自然地得到復變函數積分的定義。接下來，再平行引入積分運算的性質：線性性質、積分曲線的可加性、積分估值，這些基本性質與實函數是一致的；關于復積分的計算問題，可以想到轉化為曲線積分，最終通過參數方程法轉化為最基本的定積分來處理，這也是很自然的一個過程。這樣，我們就在復習已經學過知識的基礎上，自然地完成了新的知識的學習，而且整個過程學生也在不斷思考，因此不會感覺枯燥。

三、通過比較《數學分析》與《復變函數》相關知識點的異同，加深學生對知識點的認識

當然，有很多方面《復變函數》與《數學分析》這兩門課程的知識是不同的，這時，我們就不可以盲目地讓學生進行推廣。

比如，復變函數積分的牛頓-萊布尼茲公式，它與實一元函數的牛頓-萊布尼茲公式在形式和結果上完全一致，但復變函數積分對函數的要求比實一元函數積分對函數的要求要高很多。對實一元函數而言，只要它在區間上連續，積分就存在，，就有牛頓-萊布尼茲公式成立。而對復變函數來說，復函數連續，積分一定存在，但牛頓-萊布尼茲公式不一定成立。事實上，被積的復函數必須在單連通區域內處處解析。所以用牛頓-萊布尼茲公式計算復積分之前，首先要驗證的是積分上下限的兩點必須包含在一個單連通域內，且被積函數在該單連通域內解析。這樣才可以利用與實分析學中一樣的牛頓-萊布尼茲公式進行計算。

另外，在可導性方面，復變函數與實分析也是有區別的。在實分析中，某函數若可導，我們只能推出其導函數是存在的，而導函數是否是連續，我們無法確定，更無法確定導函數是否可導。而對于復變函數，一旦它在單連通區域內是解析的，該函數就是無窮階解析的，即任意階導數都存在且解析，這個性質明顯比實函數要好得多。

四、讓學生走上講臺，提高學生的參與感

不論什么課程，學生的參與是非常重要的。以往的教學方法都是“填鴨式”的，這樣的教學方法雖然能讓學生接觸到更多的知識，但是學生缺乏主動學習的積極性，從而導致教學效果大打折扣。所以，教師要想辦法讓學生參與到課堂教學中來，對于《復變函數》的教學亦是如此。

讓學生走上講臺，這個環節可以放在一節課開始時和一節課結束前。開始上課時，可以先讓學生走上講臺進行知識點的回顧。開始上課時，可以讓學生到講臺上回顧《數學分析》的相關內容，然后展開本次課的內容，學生就會考慮兩部分內容的區別與聯系，從而引起他們的興趣，接下來的內容也比較好展開。當然，讓學生走上講臺這個環節也可以放在內容講解完，讓學生總結本次課的知識點并與《數學分析》的相關內容進行比較，找到他們的區別與聯系。這樣，學生學習的主動性和積極性就被調動起來了，并且對知識的感受會比較深刻。

參考文獻：

[1]鐘玉泉.復變函數論.北京：高等教育出版社，2000.

[2]孫清華.復變函數內容、方法、技巧.武漢：華中科技大學出版社，2003.

基金項目：浙江省教育廳基金（Y201120491）。