怎樣利用集合的交\\并\\補(bǔ)下結(jié)論

一道完整的解答題過程應(yīng)由說明性語言、論述性語言、結(jié)論性語言構(gòu)成，解題到了下結(jié)論的時(shí)候（包括階段性結(jié)論和終結(jié)性結(jié)論），要慎重對待。如有不慎，輕則結(jié)果存有瑕疵，重則前功盡棄，所以下結(jié)論也是解題中的重要環(huán)節(jié)。本文舉例說明怎樣利用集合的交、并、補(bǔ)下結(jié)論，希望對讀者有所啟發(fā)。

一、取交集

例1（2008.江蘇高考.14題）設(shè)f（x）=ax3-3x+1（x∈R）

若對任意x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立。則實(shí)數(shù)a的值為_____。

分析：（1）當(dāng)x=0時(shí)。f（x）=1≥0恒成立，a∈R。

（2）當(dāng)x>0即x∈(0，1]時(shí)，f（x）=ax3-3x+1≥0可化為：

a≥-。設(shè)g（x）=-。則g′（x）=

所以g（x）在(0，]上單調(diào)遞增，在[，1]上單調(diào)遞減。

因此g（x）max=g()=4，從而a≥4。

（3）當(dāng)x<0即x∈[-1，0)時(shí)，f（x）=ax3-3x+1≥0可化為：

a≤-。g（x）在[-1，0)上單調(diào)遞增，因此g（x）min=g（-1）=4從而a≤4。

此時(shí)，參數(shù)的范圍取交集還是取并集？因?yàn)閷θ我鈞∈[-1，1]恒有f（x）≥0。三者之間是“且”的關(guān)系，所以，以上三種情況應(yīng)同時(shí)成立，取交集得a=4。

二、取并集

例2（2010.全國高考新課標(biāo).文科.24題） 設(shè)函數(shù)f（x）=│2x-4│+1。

（I）略

（II）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范圍。

解：（I）略

（II）據(jù)題意：存在x∈R，使f（x）≤ax成立。

（1）當(dāng)x=0時(shí)，不存在實(shí)數(shù)a，使f（x）≤ax成立，因此a∈

（2）當(dāng)x>0時(shí)，原不等式f（x）≤ax可化為a≥記g（x）=。當(dāng)0

當(dāng)x>2時(shí)，g（x）=2-∈(，2)。所以當(dāng)x>0時(shí)，g（x）∈[，+∞)。

因此，a≥。

（3）當(dāng)x<0時(shí)，原不等式可化為：a≤-2，-2∈（-∞，-2），

因此，a<-2。

此時(shí)，a的三種范圍到底取交集還是并集？

以上三種情況至少有一種成立，三者之間是“或”的關(guān)系。

所以取并集得a的取值范圍為：（-∞，-2）∪[，+∞)。

三、取補(bǔ)集（略）

小結(jié)：

1.從以上幾例可以發(fā)現(xiàn)，邏輯上的“或”、“且”、“非”，對應(yīng)著集合的“并”、“交”、“補(bǔ)”。解題中經(jīng)常要用到集合中的“并”、“交”、“補(bǔ)”。正確理解數(shù)學(xué)語言中隱含的“或”、“且”、“非”是關(guān)鍵。通俗地講：“或”指幾種情況至少有一種成立，“且”指幾種情況同時(shí)成立，“非”指一定范圍內(nèi)對立的兩種情況非此即彼的意思。

2.在解題過程中，往往要綜合考慮“并”、“交”、“補(bǔ)”的運(yùn)用，下結(jié)論時(shí)，既不取交集，也不取并集，而是分類總結(jié)列出，或合并后再分類總結(jié)列出也是常見的，相信讀者對此種類型會作出正確的處理，在此不再贅述。

（作者單位：江蘇省濱海縣明達(dá)中學(xué)）