探討幾個數學邏輯聯結詞的內涵

【摘 要】本文簡要闡述邏輯學中的幾個重要概念，并運用例子來解析這些概念，為更好地理解和運用這些概念提供參考。指出邏輯學是人們在生活和工作中必不可少而且非常重要的學科，研究數學問題時，很多思維活動和知識領域都要應用邏輯知識，邏輯學在學習數學、應用數學和研究數學等活動中有著舉足輕重的作用。

【關鍵詞】數學 邏輯 聯結詞 內涵 探討

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）01B-0090-02

思維科學是一個學科群體，思維科學主要揭示思維的本質屬性和各種規律。邏輯學屬于思維科學的范疇，它是人們在生活和工作中必不可少而且非常重要的學科。生活和工作中的很多事件都能通過邏輯的推理得以弄清來龍去脈，而且用邏輯學的方法能夠解決很多生活和工作中的問題。因此，在生活和工作中邏輯學起到了不可忽視的作用。研究數學問題時，很多思維活動和知識領域都要應用邏輯知識，邏輯學在學習數學、應用數學和研究數學等活動中有著舉足輕重的作用。

一、知識點分析

（一）命題

命題，判斷一件事情真假的語句叫命題。

一條語句是否為命題，關鍵在于該語句能不能判斷該事情的真假，若一語句不能判斷真假，那么該語句就不是命題。應該注意，命題和開語句（無法確定其是真是假的語句）的區別。如“y>3”就是開語句，因為沒有給出 y 的確定的值時，無法判斷“y>3”的真假。再如“求證方程 a2+a+1=0 無實根”是祈使句，無法判斷它的真假，所以不是命題；“向英雄學習”是感嘆句，而無需判斷真假，因此它也不是命題。

（二）邏輯聯結詞

1.“或”“且”“非”這些聯結語句的詞語叫邏輯聯結詞。

2.數學中“或”這個邏輯聯結詞和日常生活用語中的“或”的意義是不同的：日常生活的“或”用語帶有“不可兼有”（即不能同時具備）的意思，例如吃飯或上街；而數學中的這一邏輯聯結詞卻含有“同時兼有”的意思，如 a>5 或 0≤a<10。

3.“或”字與集合的“并”字密切相關。

（1）在集合的運算中，并集是用“或”來定義的：

M∪N={x|x|，x∈M 或 x∈N}。

（2）它們兩者的外形相似：“p 或 q”的含義存在三種情形：

情形一，只有 p 成立；情形二，只有 q 成立；情形三，p和 q 同時成立。這三種情形依次對應于集合并集中的情形一（CUN）∩M；情形二（CUM）∩N；情形三 M∩N。

（3）兩者之間的區別：集合的運算中的并集強調的是一個“整體”，這個整體可以看做是由三個部分組成的；而邏輯聯結詞“或”字則是用來聯結兩個命題，把它們組成一個復合命題，當復合命題成立時，也有三種情況。

二、應用剖析

（一）怎樣判斷一個命題是復合命題

用邏輯聯結詞聯結的命題就是復合命題，而不用邏輯聯結的命題則是簡單命題。要判斷一個命題屬于簡單命題或者屬于復合命題，不能僅從字面上看它是否含有“或”“且”“非”等這些邏輯聯結詞，而應該從命題的結構來看是否可以用邏輯聯結詞來聯結這兩個命題。有些命題表面上沒有這些詞，但它是復合命題。如“能被 5 整除的數個位不是 0 就是 5”是復合命題，它的意思和“能被 5 整除的數個位是 0 或 5”一樣；而“對角線垂直且相等的四邊形是正方形”這個命題，雖然含有“且”，但它卻不是一個復合命題，而是一個有復合命題條件的簡單命題。

（二）如何判斷一個復合命題的真假

為了方便識記，上面的真值表可簡單表述為：“p 或 q”一真必真，“p 且 q”一假必假，“非 p”真假相反。

三、思維遷移

（一）如何準確寫出一個命題的否定命題

1.對“若 A 則 B”型命題的否定

雖然對一個命題的否定是對該命題的結論進行否定，但必須保證與真值表相符合。

例如：寫出下列命題的否定形式。

（1）若張三是 A 學校的學生，那么張三就是 A 學校一年級（一）班的學生；

（2）如果 x+y=0，那么 x=0，y=0；

（3）如果 a 是有理數，那么 a 就是自然數。

分析解答：

（1）命題“若張三是 A 學校的學生，那么張三就是 A 學校一年級（一）班的學生”的否命題是：若張三是 A 學校的學生，那么張三就不是 A 學校一年級（一）班的學生；

（2）命題“如果 x+y=0，那么 x=0，y=0”的否命題是：如果 x+y=0，那么 x≠0，y≠0；

（3）命題“如果 a 是有理數，那么 a 就是自然數”的否命題是：如果 a 是有理數，那么 a 不是自然數。

2.全稱否定與特稱否定

非 p 叫做對命題的否定，但“非 p”絕不是“是”與“不是”的簡單表述。一般地，命題是指對事物的性質或事物的存在關系的判定，可以根據判斷對象的數量是個體或者是部分抑或是全體，把其分為單稱命題、特稱命題和全稱命題。但必須透徹理解：否定全稱得特稱、否定特稱得全稱、否定肯定是否定、否定否定得肯定。在解決實際問題時，應注意命題中是不是省略了表示全稱意義的詞語，如“全部”“一切”“所有”“任何”等詞語。

例：請指出下面的命題是全稱命題還是特稱命題，寫出這些命題的否定形式，并說出這些否定形式的真假，不需要證明。

（1）一個數的最后一個數字是偶數的數能被 4 整除；

（2）對任意實數 a，都有 a2-2a-3<0；

（3）方程 b2-5b-6=0 有一個根是奇數。

分析解答：

（1）這個命題是全稱命題。它的否定是：存在末尾數是偶數的數，不能被 4 整除；這個命題的否定是真命題。

（2）這個命題是全稱命題。它的否定是：存在實數 a，使得 a2-2a≥0；這個命題的否定是真命題。

（3）這個命題是特稱命題。它的否定是：方程 b2-5b-6=0 的兩個根都不是奇數；這個命題的否定是假命題。

3.對“或”“且”命題的否定

由“或”“且”詞語聯結的命題的否定形式：“p 或 q”形式的命題的否定是“非p 且非 q”，“p 且 q”形式的命題的否定形式是“非 p 或 q”。它類似于集合運算中的“C∪（A∪B）= （C∪A）∩（C∪B），C∪（A∩B）=（C∪A）∪（C∪B） ”。

4.常用正面敘述詞語及它的否定

（二）如何進行復合命題的真值推理

首先求出復合命題的真值表，結合復合命題的構成，仔細對照真值表，對每一個簡單命題的真值情況予確定，再依此推理出新的復合命題的真值。

例：小 D 生病了，小 A、小 B、小 C 三個同學中有一個幫助小 D 完成了工作。當小 D 問起誰做的好事時，小 A 說：“小 B做的。”小 B 說：“不是我做的。”小 C 說：“也不是我做的。”假設知道三個人中有兩個人說的是假話，有一個人說的是真話，能判斷是誰做的好事嗎？

解析：結論有三種可能：（1）如果是小 A 做的，那么三人說話中有二真一假，不合題意；（2）如果是小 B 做的，那么三人中有二真一假，不合題意；（3）如果是小 C 做的，那么三人說話中二假一真，符合題意，所以得到結論是小 C 做的。

（三）邏輯聯結詞與集合運算的對應關系

設集合 M 和 N 的特征性質分別是 p 和 q，即 M={x|p}，N={x|q}。在全集 U={x|u}的范圍內，根據“且”或“或”“非”邏輯聯結詞的意義，可對集合的交集、并集、補集進行更深更廣的認識：

M∩N={x|x∈M 且 x∈N}={x|p∧q}；

M∪N={x|x∈M 或 x∈N}={x|p∨q}；

CUM={x|x∈U 且 xM}={x|┐p}；

CUN={x|x∈U 且 xN}={x|┐q }。

由此可知：

M∩N 的特征性質是 p∧q；

M∪N 的特征性質是 p∨q；

CUM 的特征性質是 ┐p，即 u∧（┐p）；

CUN 的特征性質是 ┐q，即 u∨（┐q）。

由此可見，數學是從生活中來的，同時也為生活服務。特別是邏輯方面，在生活和工作中常常遇見并被運用。透徹理解邏輯學知識并靈活應用邏輯學知識解決問題，既可以體會數學的實用性，又可以感悟數學的樂趣。

【作者簡介】龔光劍（1976— ），男，漢族，廣西百色人，廣西右江民族商業學校高級講師。

（責編 盧建龍）