向量在解題中的應用

　　摘 要： 向量是近代數學中基本和重要的數學概念之一，是溝通代數和幾何的重要工具，在實際中有著廣泛的應用。本文談談向量在解題中的應用。
　　關鍵詞： 向量 解題 應用
　　
　　數量是只有大小的量；向量是既有大小又有方向的量。在大量實際問題及科學技術問題中，諸如位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量，只有引入向量才能準確地表示它們，因此，向量的引入是實際問題的需要。同時，向量作為一種表示有多個因素的量，也成為表述和解決數學和實際問題的有力工具。
　　一、向量的應用
　　首先來看一看向量中的幾個重要定理和公式：
　?。?）平面向量基底定理：設，是同一平面內兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內任一向量，有且僅有一對實數λ，λ，使=λ+λ.
　?。?）兩個向量相等的充要條件：=?圳x=x，y=y.
　?。?）兩個向量平行的充要條件：‖?圳‖λ(λ≠0)?圳xy-xy=0.
　?。?）兩個向量垂直的充要條件：⊥?圳?=0?圳xx+yy=0.
　　二、向量在解題中的應用
　?。ㄒ唬┰谖锢韺W中的應用
　　向量是既有大小又有方向的量，物理中有很多量，如位移、力、速度等都是向量。用數學知識解決物理問題，首先要把物理問題轉化為數學問題，即將物理量之間的關系抽象成數學模型，然后通過這個數學模型的研究解釋相關的物理現象。
　　用向量的知識可以解決許多力學問題，如速度與力的分解、合成，這時要用到平行四邊形法則、三角形法則，以及相關的力的夾角、大小的求法。
　　用向量的方法也可以解決力做功問題，這時要用到向量的數量積。下面舉例來看：
　　例題1.一條柔軟的繩子中點處懸掛了重物，使繩子下垂成夾角θ（如圖1）.設物體重W，求繩子兩邊所受的拉力.
　　解析：記，分別為垂直向上方向和水平方向的單位向量（如圖1），重物所受重力則為-W；繩子兩邊所受拉力為F，F，則|F|=|F|.由力平衡得
　　F+F=We，|Fcos|e+|Fcos|e=We，
　　2|Fcos|=W，|F|=|F|=
　　所以繩子兩邊所受的拉力為.當θ=0，繩子兩邊所受拉力最小為，隨著θ增大，繩子兩邊所受拉力將越來越大.
　　例題2.今有一小船位于寬d=60m的河邊P處，在下游距離l=80m的L處河流變成“飛流直下三千尺”的瀑布.若河水流速方向由上游指向下游，即與河岸平行，水速大小為5m/s，如圖2所示，為了使小船能安全渡河，船的劃速不能小于多少？當劃速最小時，劃速方向如何？
　　【解析】在題設條件下，船的臨界合速度沿圖3中的方向，設=v，從A向PQ方向作垂線，垂足為B，有向線段即表示最小劃速的大小和方向，
　　且|v|=vsinθ，而sinθ====0.6
　　∴θ=37°
　　∴|v|=5×0.6=3(m/s)，90°+θ=90°+37°=127°
　　答：船的劃速不能小于3m/s；當劃速最小時，劃速與水流方向的夾角為127°.
　　點評：從實際意義中抽象出||是臨界運動路徑解題的關鍵。
　　（二）在平面幾何中的應用
　　把平面幾何中的線段規定方向轉化為向量，這樣有關線段的長度即轉化為求向量的長度（模），射線的夾角即轉化為向量的夾角，于是平面幾何中的一些證明、計算就被向量的運算取代，這給許多問題的解決帶來了方便，也就是說向量為我們研究平面幾何問題提供了一種新的思想、新的工具。
　　平面幾何證明中輔助線往往是學習的難點，而引入向量后，就減少或不作輔助線，但應注意選用基底向量表示有關向量，選用的基底向量不同，解法也會有一些差別，因此選用合適的基底向量顯得很重要。下面來看個例子：
　　例題3.如圖4所示，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，DE⊥AC，E是垂足，F是DE的中點，求證：AF⊥BE.
　　解析：要證AF⊥BE，可轉化為證向量，的數量積為零，即證?=0.
　　證明：∵AB=AC，且D是BC的中點，
　　∴⊥，∴?=0
　　又⊥，∴?=0，∴?=0
　　∵=，F是DE的中點，∴=-
　　?=（+）?（+）=?+?+?+?
　　=?+?+?=（+）?+?+?
　　=?+?+?+?=?-?-?
　　=?-?=?（-）=?=0
　　∴⊥
　　點評：證明兩直線垂直用向量的數量積非常方便，熟練掌握兩個向量垂直的條件是解題的關鍵。
　　（三）在解析幾何中的應用
　　解析幾何就是用坐標的方法研究圖形，而向量也引入了坐標運算，因此可以用向量的坐標運算解決解析幾何中的證明與計算等問題。
　　解析幾何中的點共線，線線平行、垂直、夾角、距離都有各自的方法及公式，而這些問題在向量中也有相應的公式，而且有許多比解析幾何中的公式更加簡單，更具有一般性。例如用解析幾何中的直線斜率公式求夾角或證垂直時，必須對直線斜率有無進行分類討論，而用向量的方法就可以不xBpLpdwoDpPP7L+q4OUF+A==討論了。但應注意，解析幾何中的公式及向量中的公式都有各自的特點，同一個問題選用不同的方法，其運算的復雜程度往往有很大差別，因此要注意選用這兩種不同的方法。下面來看一個在線段的定比分點中的應用：
　　1.點P分有向線段所成的比的定義：
　　設P，P是直線l上兩點，點P是l上不同于P，P的任意一點，則存在一個實數λ，使=λ，λ叫做點P分有向線段所成的比.當點P在線段PP上時，λ＞0；當點P在線段PP或的延長線上時，λ＜0.
　　2.定比分點坐標公式，中點坐標公式及推導：
　　若=λ，P，P，P的坐標分別為：（x，y），(x，y)，（x，y），
　　則=（x-x，y-y），=（x-x，y-y）
　　∵=λ
　　∴(x-x，y-y)=λ(x-x，y-y)
　　∴x-x=λ(x-x)y-y=λ(y-y)
　　由此方程組解出x，y，得到線段的定比分點坐標公式：
　　x=y=(λ≠-1)
　　當λ=1時，即得中點坐標公式：x=y=.
　　3.需注意的問題
　　（1）線段的定比分點坐標公式是向量的坐標運算的應用之一，是把有向線段和分點所具有的圖形特征通過坐標運算表示出來，這給我們解決有關問題帶來了極大的方便.
　　（2）在運用線段的定比分點坐標公式時，要注意(x，y)是起點的坐標，(x，y)是終點的坐標，(x，y)表示分點的坐標，在每個等式中涉及四個不同的量，它們分別表示三個坐標和定比λ，只要知道其中的任意三個量，便可求第四個量.
　?。?）對于同一直線上不同的三點P，P，P，能得到六個不同的向量，，，，，，現在選取其中的三個向量，和，若=λ，則λ為P分有向線段所成的比，即P為起點，P為終點，P為分點.
　　4.定比分點的向量公式
　　在平面上任取一點O，設=，=，若=λ，則=+，特別是當λ=1時，即P為線段PP的中點，則有=+.
　　用定比分點的向量公式可使有些問題的解法更簡捷。下面來看個例子：
　　例題4.如圖5所示，P點在線段AB上，且=m，Q在線段AD上，且=n，BQ與CP相交于R，求的值.
　　解析：取兩基底，由定比分點的向量公式將有關向量用基底表示出來，再求解。
　　解：設=，=，=λ
　　由題意有=m，=n，則
　　===
　　=+=+(+)
　　=+=+
　　又B，R，Q三點共線，∴存在實數t使=t，
　　∴+=+(+)
　　∴=+且=
　　解得λ=即為所求.
　　向量是近代數學中基本和重要的數學概念之一，是溝通代數和幾何的重要工具，在實際中有著廣泛的應用。利用向量研究三角、代數、幾何等問題已經漸成為一種趨勢，并大有取代原有方法之勢。
　　
　　參考文獻：
　　［１］吳茂慶.數學教學參考書.江蘇教育出版社.
　　［２］張郈轔.新課標教材完全解讀.接力出版社.