由“數(shù)”到“式

　　摘 要： 本文以大家熟知的整數(shù)性質(zhì)來解有關(guān)整式的問題，通過比較和分析來探討競賽數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的影響和作用.數(shù)學(xué)教育要教會學(xué)生利用所學(xué)的知識、技能、思維方法來解決其他問題，學(xué)會舉一反三，由此及彼，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的魅力和美感。從而使學(xué)生獲得智力、能力等多方面的提高.
　　關(guān)鍵詞： 整數(shù) 因式分解 競賽數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)教育
　　
　　享有“數(shù)學(xué)王子”美譽(yù)的德國著名數(shù)學(xué)家高斯曾說：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的女皇；數(shù)論是數(shù)學(xué)的女皇.”人類最早認(rèn)識的數(shù)是整數(shù)，每個人最先學(xué)習(xí)的也是整數(shù).整數(shù)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)中所有的研究都離不開整數(shù).整數(shù)研究中提出的問題，促進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)科中很多重要分支的產(chǎn)生和發(fā)展.以整數(shù)為研究對象的有關(guān)初等數(shù)論題目更是各種數(shù)學(xué)競賽中的常客.現(xiàn)在，初等數(shù)論已經(jīng)走進(jìn)中小學(xué)課堂，由著名數(shù)學(xué)家、教育家張景中院士主編的湘教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書選修系列中就有《初等數(shù)論初步》.人教版八年級數(shù)學(xué)上冊第十五章的內(nèi)容為“整式的乘除與因式分解”，在教學(xué)實(shí)踐中遇到一些題目，學(xué)生普遍感到棘手，而用競賽數(shù)學(xué)中有關(guān)整數(shù)的性質(zhì)去解題，簡單快捷，有異曲同工之妙.
　　【例1】已知多項(xiàng)式2x-x+m有一個因式是2x+1，求m的值.
　　【解法一】分析：由于整式的乘法與因式分解互為逆運(yùn)算，可假設(shè)另一個因式，再用待定系數(shù)法即可求出m的值.
　　解：根據(jù)已知條件，設(shè)2x-x+m=（2x+1）（x+ax+b）
　　則2x-x+m=2x+（2a+1）x+（a+2b）x+b
　　由此可得2a+1=-1 （1）a+2b=0 （2）m=b （3）
　　由（1）得a=-1.把a(bǔ)=-1代入（2），得b=.把b=代入（3），得m=.
　　【解法二】分析：由2x-x+m=（2x+1）（x+ax+b）想到多項(xiàng)式的乘除和整數(shù)的乘除是一樣的.若整數(shù)a，b，c滿足a=bc，易知若b，c有一個為0，則a必為0.那么當(dāng)2x+1為0時(shí)，2x-x+m必為零，從而問題迎刃而解.
　　解：當(dāng)因式2x+1=0時(shí)，原多項(xiàng)式2x-x+m=0.即當(dāng)x=-時(shí)，2×---+m=0，解得m=.
　　【評注】解法一運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法和待定系數(shù)法，忠實(shí)于教材內(nèi)容的運(yùn)用，但與解法二相比就顯得繁瑣.解法二從整數(shù)的乘除來看整式的乘除，學(xué)生容易理解，且簡單快捷，可以很好地激發(fā)學(xué)生的求知欲.
　　【例2】已知：x+bx+c（b，c為整數(shù)）是x+6x+25及3x+4x+28x+5的公因式，求b，c的值.
　　【解法一】分析:分別將兩個多項(xiàng)式分解因式，求得公因式后可求出b、c.
　　解:x+6x+25=（x）+10x+25-4x=（x+5）-（2x）=（x+2x+5）（x-2x+5）
　　若將多項(xiàng)式3x+4x+28x+5直接因式分解比較困難，我們由已知條件知道公因式x+bx+c必為x+2x+5和x-2x+5中的一個.則我們可以分別設(shè)
　　3x+4x+28x+5=（x+2x+5）（3x+mx+1）
　　或者
　　3x+4x+28x+5=（x-2x+5）（3x+nx+1）
　　通過待定系數(shù)法比較系數(shù)可知m不存在，n=6，即
　　3x+4x+28x+5=（x-2x+5）（3x+6x+1）
　　則x+bx+c=x-2x+5
　　所以b=-2，c-5.
　　【解法二】分析:數(shù)的整除性有兩條基本的性質(zhì):
　　（1）若c|a，c|b，則c|（a±b）;（2）若b|a，n為整數(shù)，則b|na.
　　類似地，x+bx+c是x+6x+25的因式，那x+bx+c也是3（x+6x+25）的因式，從而x+bx+c也是3（x+6x+25）與3x+4x+28x+5差的因式，所求問題及轉(zhuǎn)化為簡單的求兩個多項(xiàng)式的差的二次因式.
　　解：由于x+bx+c是3（x+6x+25）及3x+4x+28x+5的公因式，因而也是多項(xiàng)式3（x+6x+25）-（3x+4x+28x+5）的二次因式.
　　3（x+6x+25）-（3x+4x+28x+5）=14（x-2x+5）.
　　因?yàn)閎，c為整數(shù)得：x+bx+c=x-2x+5，則b=-2，c=5.
　　【評注】解法一需要對兩個多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式，然后得出公因式.第一個多項(xiàng)式分解因式需要對教材中的完全平方公式和平方差公式了然于胸，然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟痦?xiàng)，而添項(xiàng)和拆項(xiàng)是因式分解中的難點(diǎn).而第二個多項(xiàng)式直接分解因式對大部分學(xué)生來說都很困難，可通過待定系數(shù)法比較系數(shù)得出.解法二對整數(shù)整除的兩個基本性質(zhì)進(jìn)行演繹推理后，轉(zhuǎn)化為簡單的多項(xiàng)式加減，從而簡便地求出公因式，進(jìn)而求出答案.解法二化繁為簡，化難為易，運(yùn)用的知識簡單易懂，讓學(xué)生體會到知識的連續(xù)性和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.
　　【例3】設(shè)整數(shù)a，b，c為三角形的三邊長，滿足a+b+c-ab-ac-bc=13，求符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù)（全等的三角形只計(jì)算1次）.
　　解:不妨設(shè)a≥b≥c，由已知等式可得
　　（a-b）+（b-c）+（a-c）=26①
　　令a-b=m，b-c=n，則a-c=m+n，其中m，n均為自然數(shù).
　　于是，等式①變?yōu)閙+n+（m+n）=26，即
　　m+n+mn=13②
　　由于m，n均為自然數(shù)，判斷易知，使得等式②成立的m，n只有兩組：
　　m=3n=1和m=1n=3.
　　（1）當(dāng)m=3，n=1時(shí)，b=c+1，a=b+3=c+4，又a，b，c為三角形的三邊長，所以b+c＞a，即（c+1）+c＞c+4，解得c＞3.又因?yàn)槿切蔚闹荛L不超過30，即a+b+c=（c+4）+（c+1）+c≤30，解得c≤.因此3＜c≤，所以c可以取值4，5，6，7，8，對應(yīng)可得到5個符合條件的三角形.
　　（2）當(dāng)m=1，n=3時(shí)，b=c+3，a=b+1=c+4.又a，b，c為三角形的三邊長，所以b+c＞a，即（c+3）+c＞c+4，解得c＞1.又因?yàn)槿切蔚闹荛L不超過30，即a+b+c=（c+4）+（c+3）+c≤30，解得c≤.所以1＜c≤，所以c可以取值2，3，4，5，6，7，對應(yīng)可得到6個符合條件的三角形.
　　綜合可知：符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù)為5+6=11.
　　【評注】本題為2010年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試（B）卷第1題.對已知條件所給等式進(jìn)行恒等變形，只要記住完全平方公式就可根據(jù)公式的特征兩邊同時(shí)乘以2即可得到.但變形后依然不易求解.注意題目條件所給為整數(shù)，而一個含有三個未知數(shù)的等式要求出a，b，c，依然很困難.我們想到含有兩個未知數(shù)的方程求正整數(shù)解的問題，因而分別將a-b，b-c設(shè)為m，n，a-c用m，n表示.即轉(zhuǎn)化為兩個未知數(shù)的方程求正整數(shù)解的問題，根據(jù)整數(shù)性質(zhì)很容易求解，然后分類討論即可.
　　競賽數(shù)學(xué)教育是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的組成部分，是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的完善與補(bǔ)充.數(shù)學(xué)競賽植根于中學(xué)數(shù)學(xué)，深化了中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，許多競賽題目是課本習(xí)題、例題的直接延伸、發(fā)展和變化，反映了以現(xiàn)代數(shù)學(xué)為背景的中學(xué)數(shù)學(xué)的基本概念、基本原理、基本方法和基本應(yīng)用.數(shù)學(xué)競賽對于中學(xué)數(shù)學(xué)的改革和發(fā)展起著重要的促進(jìn)作用，很多新思想、新方法、新內(nèi)容通過這一橋梁源源不斷地輸入中學(xué)數(shù)學(xué)，促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)的革新跟上時(shí)代的步伐.
　　由整數(shù)性質(zhì)巧解有關(guān)整式的問題，并不需要很多高深的知識，需要的是對知識的出色應(yīng)用，這與數(shù)學(xué)教育越來越注重學(xué)生能力是一致的.在問題解決的過程中需要出色的應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，這要求教師對前人已有的成果有較為深刻的理解，需要有面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識，而不能只有教學(xué)法的知識.促使教師能在課堂教學(xué)中“和風(fēng)細(xì)雨”般融入競賽數(shù)學(xué)，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識的生發(fā)作用和在問題解決中的巨大作用.教師需要在深刻理解學(xué)科知識的基礎(chǔ)上，挖掘?qū)W科知識的教育價(jià)值，進(jìn)而把這種價(jià)值以教育的形態(tài)表達(dá)出來.競賽數(shù)學(xué)是一種教育數(shù)學(xué)，以教育的形式反映了做數(shù)學(xué)過程中問題解決這一重要環(huán)節(jié).
　　
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　　（作者系廣州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與教育軟件學(xué)院碩士研究生）