數形結合思想在高中數學中的應用

　　摘 要： 數形結合思想是培養和發展學生的空間觀念和數感，進行形象思維與抽象思維的交叉運用，使多種思維互相促進、和諧發展的主要形式，可大大提高學生理解問題、分析和解決問題的能力，提高學生數學思維能力的深度和廣度，從而提高復習效率.
　　關鍵詞： 數形結合 抽象思維 形象思維 有機結合
　　
　　數形結合思想，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化解決數學問題的思想.它包含“以形助數”和“以數助形”兩方面，其應用大致可分為兩種情形：一是借助形的生動和直觀性闡明數與數之間的聯系，即以形作為手段，以數作為目的；二是借助數的精確性和規范嚴密性闡明形的某些屬性，即以數作為手段，以形作為目的.數形結合思想是培養和發展學生的空間觀念和數感，進行形象思維與抽象思維的交叉運用，使多種思維互相促進、和諧發展的主要形式.重視應用數形結合思想進行教學，有助于培養學生靈活運用知識的能力，現行中小學數學教材十分重視數形結合思想的應用.在高考復習中，如果教師適當地滲透數形結合的思想，就可極大地提高學生理解問題、分析和解決問題的能力，提高學生數學思維能力的深度和廣度，從而提高復習效率.
　　一、集合問題中的數形結合思想
　　例1．有48名學生，每人至少參加一個活動小組，參加數理化小組的人數分別為28，25，15，同時參加數理小組的8人，同時參加數化小組的6人，同時參加理化小組的7人，問同時參加數理化小組的有多少人？
　　分析：我們可用圓A、B、C分別表示參加數理化小組的人數（如圖），則三圓的公共部分正好表示同時參加數理化小組的人數．用n表示集合的元素，則有：
　　n（A）+n（B）+n（C）-n（A∩B）-n（A∩C）-n（B∩C）+n（A∩B∩C）=48
　　即：28+25+15-8-6-7+n（A∩B∩C）=48
　　∴n（A∩B∩C）=1，即同時參加數理化小組的有1人．
　　二、函數問題中的數形結合思想
　　例2．如果方程x+2ax+k=0的兩個實根在方程x+2ax+a-4=0的兩實根之間，試求a與k應滿足的關系式．
　　分析：我們可聯想對應的二次函數y=x+2ax+k，y=x+2ax+a-4的草圖．這兩個函數圖像都是開口向上的，形狀相同且有公共對稱軸的拋物線（如圖）．要使方程x+2ax+k=0的兩實根在方程x+2ax+a-4=0的兩實根之間，則對應的函數圖像y與x軸的交點應在函數圖像y與x軸的交點之內，它等價于拋物線y的頂點縱坐標不大于零，且大于拋物線y的頂點縱坐標．由配方法可知y與y的頂點分別為：P（-a，-a+k），P（-a，-a+a-4），故-a+a-4＜-a+k≤0.故可求出a與k應滿足的關系式為：a-4＜k＜a．
　　三、方程問題中的數形結合思想
　　例3．已知x是方程x+lgx=3的根，x是方程x+10=3的根，那么x+x的值為（ ）
　　A.6 B.3 C.2 D.1
　　解:∵lgx=3-x，10=3-x，令y=lgx，y=3-x，y=10，
　　在同一坐標系中作出它們的簡圖.
　　∵x是方程x+lgx=3的解，x是方程x+10=3的解，
　　∴x，x分別對應圖中A，B兩點的橫坐標.
　　∵函數y=lgx與y=10的圖像關于y=x對稱，
　　∴線段AB的中點C在直線上y=x.
　　∴由y=x，y=3-x解得x=，
　　∴x+x=3，故選B.
　　四、數形結合思想研究三角問題
　　例4.求函數y=的值域.
　　解：y=的形式類似于斜率公式y=
　　y=表示過兩點P（2，-2），P（cosx，sinx）的直線斜率.
　　由于點P在單位圓x+y=1上，如圖，顯然，k≤y≤k.
　　設過P的圓的切線方程為y+2=k（x-2），
　　則有=1，解得k=
　　即k=