淺析運動中的關聯速度和相對速度

摘要：本文通過范例介紹了使用關聯速度和相對速度的解題方法。

關鍵詞：關聯速度；相對速度

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148(2011)5(S)-0017-2

引言 運動的合成和分解是連接直線運動和曲線運動的橋梁，是處理復雜曲線運動問題的基礎，也是曲線運動的重點和難點，還可以和功能關系相結合成為考點，歷來也是學生容易出錯的地方。學生在遇到這類題的時候，往往分不清合速度與分速度，從而對速度胡亂分解而導致出錯。

1 關聯速度

① 兩個物體通過細繩關聯，連接點在細繩的兩端點。

例1 如圖1所示，A、B兩車通過細繩跨接在定滑輪兩側，并分別置于光滑水平面上，若A車以速度v0向右勻速運動，當繩與水平面的夾角分別為α和β時，B車的速度是多少？

分析 由于輕繩不可伸長，因此輕繩兩端的連接點速度大小相等。A車在向右運動的過程中產生了兩個效果：使右邊的繩長度變長以及使右邊的繩繞O點發生轉動，同時B車在向右運動的過程中也產生了兩個效果：使左邊的繩變短以及使左邊的繩繞O點發生轉動。因此把A車和B車的速度沿繩和垂直繩分解，其中A車和B車沿繩的速度發生關聯，速度大小相等。

解 如圖2所示，對A的速度進行分解，得

v0cosβ=v①

對B的速度進行分解，得

vBcosα=v②

聯立①②得：

vB=cosβcosαv0

②兩個物體通過直桿關聯，連接點在直桿的兩端點。

例2 如圖3所示，均勻直桿上連著兩個小球A、B，不計一切摩擦。當桿滑到如圖位置時，B球水平速度為vB，加速度為aB，桿與豎直夾角為α，求此時A球速度和加速度大小。

分析 由于直桿不可伸長，因此直桿兩端的連接點速度大小相等。因此把A和B的速度沿桿和垂直桿分解，其中A和B沿桿的速度發生關聯，速度大小相等。

解 如圖4所示，對A的速度進行分解，得

vAcosα=v①

對B的速度進行分解，得

vBsinα=v②

聯立①②得：

vA=vBtanα

同理對A、B的加速度進行分解，得：

aA=aBtanα

③兩個物體直接接觸，連接點在兩物體的接觸點。

例3 如圖5所示，斜面B的傾角為30°，斜面尖頂著豎直墻壁靜止于水平地面上，現將一個質量與斜面質量相同、半徑為r的球A放在墻面與斜面之間，并從圖示位置由靜止釋放，不計一切摩擦，求此后運動中，（1）斜面的最大速度；（2）球觸地后彈起的最大高度。（球與地面作用中機械能的損失忽略不計）

分析 取球A和斜面B的接觸點C為連接點，A在下落的過程中接觸點C相對于沿斜面向下運動，因此可以把A的速度分解到沿斜面向下和垂直斜面兩個方向；而B在向右運動的過程中接觸點C相對于球向上運動，因此可以把B的速度分解到沿斜面向上和垂直斜面兩個方向，其中垂直斜面的速度發生關聯，速度相等。

解 （1）A加速下落，B加速后退，當A落地時，B速度最大。選取A和B作為系統研究，整個過程中，斜面與球之間彈力對球和斜面做功代數和為零，所以系統機械能守恒。

mg(h-r)=12mvA2+12mvB2①

由圖中幾何知識知：

h=cot30°#8226;r=3r②

如圖6，把A和B的運動分解為沿斜面和垂直斜面的運動。

兩物體在垂直斜面方向不發生相對運動，所以vAcos30°=vBsin30°③

解得

vA=（3-1)gr2，vB=3(3-1)gr2

（2）A落地反彈速度大小v′A=vA，做豎直上拋運動的最大高度：Hm=v′A22g=(3-1)r4

2 相對速度

要研究物體A的運動，而A又在物體B上相對于B運動，這里就存在一個相對速度的問題。當A對地面的速度和B對地面的速度在一條直線上時，屬于一維情況，我們只需要規定一個正方向就可以處理；但是當A對地面的速度和B對地面的速度不在一條直線上的時候，這就屬于二維情況，我們可以用平行四邊形法則或三角形法則來處理。其中A對地面的速度、B對地面的速度和A相對于B的相對速度滿足速度的矢量和，vA=vB+vAB，很明顯，A對地面的速度為合速度，B對地面的速度和A對B的相對速度為兩個分速度，處理這類問題的關鍵是抓住物體A對地面的速度為合速度。

例4 氣象臺測得風速為4m/s，一輛汽車向西行駛，汽車上風速計、風向標測得風自正北吹來，風速為2m/s。求汽車速度和實際風向。

分析 氣象臺測得風的速度為對地面的速度，因此為風的合速度，而汽車的速度以及風相對汽車的速度為兩個分速度。

解 如圖7所示，v汽=v12-v22

=42-22=23m/s

cosθ=12，θ=60°

該風為東北風，北偏東60°。

例5 水平桌面上一平板以速度v1勻速運動，A、B形成的光滑槽固定在桌面上，質量為m的物體與平板的動摩擦因數為μ，物體在沿槽的力的作用下沿槽以速度v2勻速運動，求該力的大小。

分析因為光滑槽固定在桌面上，桌面不動，所以v2為物體對槽也就是相對地的速度，為合速度，平板的速度v1和物體相對于平板的速度為兩個分速度，而物體所受平板施加的滑動摩擦力阻礙物體相對平板的運動，方向和物體相對于平板的相對速度方向相反。

解 如圖9所示，cosθ=v2v12+v22①

物體水平方向受力如圖，得：

F=f#8226;cosθ②

f=μmg③

解得F=μmgcosθ

(欄目編輯趙保鋼)

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