“雙限制”問題及應(yīng)用

1 問題的提出

“雙限制”問題是2009年高考中出現(xiàn)的新題型。我們通過日常生活中的實例來理解“雙限制”問題。國務(wù)院辦公廳轉(zhuǎn)發(fā)建設(shè)部等九部委《關(guān)于調(diào)整住房供應(yīng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定住房價格的意見》［國辦發(fā)（2006)37號］要求：套型建筑面積90平米以下面積所占比重，必須達(dá)到開發(fā)建筑總面積的90％以上，并且，90平方米以下的商品住宅銷售最高價格不得超過6000元／平方米。

電信某一套餐：月基本費100元，贈送省內(nèi)上網(wǎng)時長80小時和省外上網(wǎng)時長5小時，在贈送時長內(nèi)有5GB的流量限制，采用時長和流量雙限制。無論哪種方式先超出，超出后按0．1元/分鐘收取。

2 問題的界定

所謂“雙限制”問題指在物理問題的處理過程中，受到兩個不同因素制約的問題。

“建筑設(shè)計方案”受到套型建筑面積90平米以下占90％以上和最高價格不得超過6000元/平方米的雙限制，“電信套餐”采用了時長和流量的雙限制，但兩個“雙限制”又有所不同?！敖ㄖO(shè)計方案”必須同時滿足兩個條件，即套型建筑面積90平米以下占90％以上和最高價格不得超過6000元/平方米，建筑設(shè)計方案才能夠通過審批，即條件A和條件B必須同時滿足，才會得到結(jié)果C。“電信套餐”中，若滿足“超過省內(nèi)上網(wǎng)時長80小時和省外上網(wǎng)時長5小時”，則按0．1元／分鐘收取費用；若滿足“超過5GB流量”，則按0．1元／分鐘收取費用。即若滿足條件A，則結(jié)果為C；若滿足條件B，則結(jié)果為D。

“建筑設(shè)計方案”與“電信套餐”分別代表了兩種不同類型的“雙限制”問題，可用下圖表示：

3 應(yīng)用舉例

類型一：

（1）兩繩受力雙限制

例1 如圖1所示，兩繩系一個質(zhì)量為m=0.1kg的小球，兩繩的另一端分別固定于軸的A、B兩處，上面繩長L=2m，兩繩都拉直時與軸夾角分別為30°和45°。問球的角速度在什么范圍內(nèi)，兩繩始終張緊?

解析 兩繩張緊時，小球受的力如圖2所示，當(dāng)ω由0逐漸增大時， 可能出現(xiàn)兩個臨界值。

BC恰好拉直，但F2仍然為零，設(shè)此時的角速度為ω1，則有

Fx=F1sin30°=mω12Lsin30°

Fy=F1cos30°-mg=0

解得ω1=2.40rad/s

AC由拉緊轉(zhuǎn)為恰好拉直，但F1已為零，設(shè)此時的角速度為ω2，則有

Fx=F2sin45°=mω22Lsin30°

Fy=F2cos45°-mg=0

解得ω2=3.16rad/s

可見，要使兩繩始終張緊，ω必須滿足2．40rad／s≤ω≤3.16rad/s。

評析 此題在處理的過程中角速度的范圍必須滿足兩根繩都受力的條件。

(2)速度與距離雙限制

例2(2009年江蘇卷) 如圖3所示，以8m／s勻速行駛的汽車即將通過路口，綠燈還有2s將熄滅，此時汽車距離停車線18m。該車加速時最大加速度大小為2m／s2，減速時最大加速度大小為5m／s2。此路段允許行駛的最大速度為12．5m／s，下列說法中正確的有（ ）

A．如果立即做勻加速運動，在綠燈熄滅前汽車可能通過停車線

B．如果立即做勻加速運動，在綠燈熄滅前通過停車線汽車一定超速

C．如果立即做勻減速運動，在綠燈熄滅前汽車一定不能通過停車線

D．如果距停車線5m處減速，汽車能停在停車線處

解析 這是一個與日常生活中汽車的行駛密切相聯(lián)系的一個問題。如果汽車立即做勻加速運動，為了通過路口，汽車必須滿足兩個條件：汽車在2s內(nèi)通過的距離必須大于18m；汽車的最大速度不能超過12．5m／s。汽車在t1=2s內(nèi)的位移x=v0t1+12a1t12=20m＞18m，此時汽車的速度為v1=v0+a1t1=12m/s＜12.5m/s，汽車沒有超速，A項正確；如果立即做勻減速運動，速度減為零需要時間t2=v0a2=1．6s，此過程通過的位移為x2=12a2t22=6．4m，C項正確，故選AC。

(3)圓周與平拋雙限制

例3(2009年浙江理綜卷) 某校物理興趣小組決定舉行遙控賽車比賽。比賽路徑如圖4所示，賽車從起點A出發(fā)，沿水平直線軌道運動L后，由B點進(jìn)入半徑為R的光滑豎直軌道，離開豎直圓軌道后繼續(xù)在光滑平直軌道上運動到C點，并能越過壕溝。已知賽車質(zhì)量m=0．1kg，通電后以額定功率P=1．5W工作，進(jìn)入豎直軌道前受到阻力恒為0．3N，隨后在運動中受到的阻力均可不計。圖4中L=10．00m，R=0．32m，h=1．25m，S=1．50m。問：要使賽車完成比賽，電動機至少工作多長時間？(取g=10m／s2）

解析 設(shè)賽車越過壕溝需要的最小速度為v1，由平拋運動的規(guī)律可得：S=v1t，h=12gt2

解得v1=Sg2h=3m/s

設(shè)賽車恰好越過圓軌道，對應(yīng)圓軌道最高點的速度為v2，最低點的速度為v3，由牛頓第二定律及機械能守恒定律可得：

mg=mv22R，12mv32=12mv22+mg(2R)

解得v3=5gR=4m/s

通過分析比較，賽車要完成比賽，在進(jìn)入圓軌道前的速度最小應(yīng)該是vmin=4m／s。

設(shè)電動機工作時間至少為t，根據(jù)動能定理

Pt-fL=12mvmin2

可得t=2．53s

評析 通過電動機做功，小車獲得能量，電動機做功時間越長，則小車獲得的動能亦越大，小車必須獲得足夠大的速度使小車既能通過豎直的圓周，又能越過壕溝，通過比較確定在進(jìn)入軌道前的速度最小應(yīng)該是vmin=4m／s。

(4)最高點與最低點雙限制

例4 如圖5所示，有一位于豎直平面的半徑為R的圓形光滑絕緣軌道，其下半部分處于豎直向上、場強為E的勻強電場中，質(zhì)量為m、帶正電為q的小球，從軌道的水平直徑的M端以某一初速度向下運動，若滿足Eq=3mg，則要使小球在軌道內(nèi)作完整的圓周運動，求小球從軌道的水平直徑的M端下滑的最小速度。

解析 要使小球能通過最高點，設(shè)M點的最小速度為v1，則

mg=mv12R，v1=gR

從M至最高點過程中，由動能定理可得：

-mgR=12mv12-12mvM2，vM=3gR

要使小球能通過最低點，設(shè)M點的最小速度為v′1，則Eq-mg=mv′12R

從M至最低點過程中，由動能定理可得：

mgR-EqR=12mv′12-12mv′M2

解得v′M=6gR

所以M點的最小速度為vMmin=6gR

評析 要使球能在豎直軌道內(nèi)作完整的圓周運動，小球必須既能通過最高點，又能通過最低點，“最高點”和“最低點”是此問題處理過程中的雙限制。

類型二：

(1)斜面與平面雙限制

例1 如圖6所示，一高度為h=0．8m的粗糙水平面在B點處與一傾角為θ=30°的光滑斜面BC連接，一小滑塊從水平面上的A點以v0=5m/s的速度在粗糙的水平面上向右運動，物體與水平面間的動摩擦因數(shù)為μ=0.25，已知AB間的距離s=1．8m，斜面光滑。小滑塊運動到B點后將做什么運動?并求出小滑塊從A點運動到地面所需要的時間。(取g=10m／s2)

解析 小滑塊滑到B點時的速度

vB=v02-2μgs=4m/s

小滑塊從A至B點的時間

t1=vB-v0μg=4-5-2.5s=0.4s

故小滑塊接下來做平拋運動，設(shè)下降h所需要的時間為t2，則h=12gt22

解得t2=2hg=2×0.810s=0.4s

小滑塊在水平方向通過的距離

x1=vBt2=4×0．4m=1.6m

由幾何關(guān)系可得斜面的水平距離

x2=htanθ=0.83m=1.39m＜x1

故小滑塊從B點作平拋運動直接落到水平面上，t總=t1+t2=0.8s

評析 小滑塊從B點開始作平拋運動，若小滑塊落到斜面上的某一點，則接下來，小滑塊將沿斜面下滑，小滑塊總的運動時間應(yīng)包括水平面上運動的時間、平拋運動的時間和在斜面上加速運動的時間；若小滑塊直接落到水平面上，則小滑塊總的運動時間包括水平面上運動的時間和平拋運動的時間。此題中小滑塊的運動情況屬于后者。

(2)速度與電壓雙限制

例2 如圖7所示，兩平行金屬板間接有如圖8所示的隨時間t變化的電壓U，兩板間電場可看作是均勻的，且兩板外無電場，極板長L=0.2m，板間距離d=0．2m，OO′是兩板的中線。現(xiàn)有帶正電的粒子流沿兩板中線OO′連續(xù)射入電場中，已知每個粒子的速度v0=105m／s，比荷q/m=108C/kg，重力忽略不計，在每個粒子通過電場區(qū)域的極短時間內(nèi)，電場可看作是恒定不變的，試求帶電粒子射出電場時的最大速度。

解析 粒子在電場中作類平拋運動，粒子在電場中運動的時間t=Lv0=0.2105 s=2×10-6s

要使粒子出電場時的速度最大，則所加電壓要求最大，前提是粒子能射出電場。

當(dāng)U=220V時，y=12Uqdmt2=0.22m＞d2

粒子必打到極板上，不符合條件。

當(dāng)y=12Uqdmt2=d2時，解得U=100V

此時vy=at=Eqmt=Uqdmt=1×105m/s

所以vmax=2×105m/s

(3)加速電場頻率與圓周運動頻率雙限制

例3(2009年江蘇卷) 1932年，勞倫斯和利文斯設(shè)計出了回旋加速器?；匦铀倨鞯墓ぷ髟砣鐖D9所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過的時間可以忽略不計，磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場與盒面垂直。A處粒子源產(chǎn)生的粒子，質(zhì)量為m、電荷量為+q，在加速器中被加速，加速電壓為U，加速過程中不考慮相對論效應(yīng)和重力作用。求

(1)粒子第2次和第1次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比；

(2)求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時間t；

(3）實際使用中，磁感應(yīng)強度和加速電場頻率都有最大值的限制。若某一加速器磁感應(yīng)強度和加速電場頻率的最大值分別為Bm、fm，試討論粒子能獲得的最大動能Ekm。

解析 （1）設(shè)粒子第1次經(jīng)過狹縫后的半徑為r1，速度為v1，則qU=12mv12，qv1B=mv12r1

解得r1=1B2mUq

同理，粒子第2次經(jīng)過狹縫后的半徑

r2=1B4mUq

可得r2∶r1=2∶1

(2)設(shè)粒子到出口處被加速了n圈，則

2nqU=12mv2，qvB=mv2R，

T=2πmqB，t=nT

解得t=πBR22U

(3)加速電場的頻率應(yīng)等于粒子在磁場中做圓周運動的頻率，即f=qB2πm

磁場感應(yīng)強度為Bm時，加速電場的頻率應(yīng)為fBm=qBm2πm

當(dāng)fBm≤fm時，粒子的最大動能由Bm決定：vm=2πfBmR

解得EKm=q2Bm2R22m

當(dāng)fBm≥fm時，粒子的最大動能由fm決定：vm=2πfmR

解得EKm=2π2mfm2R2

評析 要使粒子獲得最大的動能，受到由磁感應(yīng)強度Bm決定的加速電場的頻率fBm與實際的加速電場的頻率fm的雙制約。當(dāng)fBm≤fm時，EKm由fBm決定；當(dāng)fBm≥fm時，EKm由fm決定。

“雙制約”問題有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，鍛煉嚴(yán)密的邏輯思維能力，其發(fā)展具有一定的生命力。

(欄目編輯羅琬華)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文