牛頓運動定律的歷史追問與現實教學

作者簡介：張維善，北京教育學院教授，原副院長。1965年畢業于北京大學物理系。多年從事普通物理和理論物理教學。近年介入中學物理教育研究和教科書編寫。編著有《近代物理基礎》、《電磁場與電磁波》等10多部著作，發表《物理科學進展與中學教學內容改革》等論文30多篇。

摘要：本文通過對牛頓運動定律確立過程的歷史追問，探索科學定律的確立過程與現實教學的關系。

關鍵詞：牛頓運動定律；歷史追問；現實教學

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148(2011)4(S)-0001-6

1 問題的提出

1687年，牛頓在他的《自然哲學的數學原理》（以下簡稱《原理》）一書中，提出了三條運動定律，它們構成了動力學的基礎。因此，牛頓運動定律在高中物理教學中具有重要地位和作用。

但是，在高中物理教學中講授牛頓運動定律，尤其是講授牛頓第二定律時，并沒有按照牛頓第二定律確立的歷史過程和線索進行講授，而是在首先給出力和質量的單位及它們的量度方法后，通過學生對加速度與力、加速度與質量關系的實驗探究得出了牛頓第二定律。對此，有一種意見認為，這樣的教學結構有違史實，尤其是掩蓋了正是在牛頓第二定律建立的過程中，才確立了力和質量如何量度的科學內涵，是不可取的。于是，建議按照第二定律確立過程的歷史發展線索，重新設計牛頓運動定律的教學結構和線索。

這就出現了兩個問題。第一，現行的牛頓第二定律的教學結構和線索是否真的是不可取的；第二，如何設計一種新的教學結構和線索，既符合牛頓第二定律確立的歷史過程，特別是這一過程中前輩科學家的思維方式，以便取其精髓，有所教益，又能與學生的已有基礎和認知水平相銜接。

我們認為，對牛頓運動定律的確立過程進行必要的歷史追向，并探討科學定律的確立過程與現實教學的關系，對認識和解決上述問題是有益的，甚至是不可缺少的。

2 牛頓運動定律的歷史追向

2.1 第一定律

牛頓在《原理》中敘述的第一定律的中譯文是：

“任何物體都保持靜止的或沿一條直線勻速運動的狀態，除非作用在它上面的力迫使它改變這種狀態。”

第一定律或叫慣性定律最早是伽俐略為質疑亞里士多德關于力和運動關系的見解而提出的。他以兩個著名的理想實驗得出結論：

“任何速度一旦施加給一個運動著的物體，只要除去加速或減速的外因，此速度就可保持不變。”

這就是說，運動并不需要外界因素來維持。但是他又指出：

“不過，這是只能在水平面上發生的一種情形。”而他所講的“水平面”是“各部分和地心等距離的”球面，所以他所講的水平面上的運動并不是直線運動。這表明，伽俐略關于慣性運動的表述并不準確。

法國數學家和哲學家笛卡爾基于運動量守恒的思想，對慣性運動作出了準確的表述。他寫道：

“運動的本質是，如果物體處在運動之中，那么如果無其他原因作用的話，它將繼續以同一速度在同一直線方向上運動，既不停下也不偏離原來的方向。”

這就突破了伽俐略所認定的“水平面”的局限。

與笛卡爾同時代的法國學者伽桑狄也獨立地指出：“在既無吸引亦無阻滯的虛空中，物體將沿原來運動的方向永恒地保持其均勻的運動。”

牛頓的第二定律并非伽俐略和笛卡爾等人論述的簡單綜合。首先，他將物體間復雜多樣的相互作用抽象為一個“力”，即把力定義為物體間的相互作用，而伽俐略、笛卡爾等都未曾建立起關于力的概念。

此外，人們一般總把靜止和運動相區別，但牛頓認為靜止和勻速直線運動并無區別。雖然伽俐略也已認識到這一點，但他和笛卡爾一樣，在確立各自的慣性原理表述時，都未曾把靜止狀態包括于其中，牛頓則明確了這一點。

更為重要的是，在牛頓的表述中，直接定義了兩個力學的基本概念，指出了它們的物理意義。一個是物體的慣性，它是物體本身具有的保持運動狀態不變的性質，并被他直接說成是物體“抵抗運動變化的能力”；另一個就是力，這是迫使一個物體運動狀態發生改變的別的物體對它的作用。

還有，由于靜止或運動只有相對一定的參考系才有意義，所以第一定律實際上也定義了一種參考系。在這種參考系中觀察，一個不受力的物體將保持靜止或勻速直線運動狀態，這就叫做慣性參考系。同時，這表明，牛頓已經明確，并非任何參考系都是慣性系。

值得指出的是，牛頓為建立他的力學體系，在挑選作為其基礎的定律時，曾提出過四條、五條、六條運動定律，最后才確定為三條，但每次他都把慣性定律作為第一條基本定律。這是因為不首先確定與慣性定律相聯系的慣性系，就無法正確地表述其他定律。因此，第一定律是動力學的出發點和基石。

總之，第一定律定性地指出了力和運動的關系。那么，力和運動的定量關系是什么呢？這就又引發出兩個問題。一個是，力應該如何量變，或者說怎樣給出力的操作性定義？牛頓把這一問題的回答留給了第二定律。另一個是，物體的慣性如何量變？雖然要真正回答這一問題是第一定律力所不能及的，但牛頓還是指出了“物質的量同物體的慣性成正比”。可見，牛頓已把慣性的量變和質量聯系起來。在牛頓那里，物質的量是什么含義呢？

在《原理》一書中，第一條定義就是：“物質的量是物質的量變，可用其密度和體積共同求出”，并且說：“密度相同的物體是指那些其慣性與其體積之比是相等的物體”，還寫道“我以后不論在何處提到物體或質量這一名稱，指的就是這個量”。這表明，牛頓把“物質的量”、“質量”和“物體”這三個詞語當成了同義詞，而且“慣性”就等同于“質量”。這種含混顯然還需要后輩科學家加以提煉甚至改造，才能形成精確的科學定義。

2.2 第二定律

牛頓敘述的第二定律的中譯文是：

“運動的變化與所加的動力成正比，并且發生在這力所沿的直線方向上。”

第二定律的提出沒有第一定律那樣復雜和曲折。第二定律是牛頓在解決第一定律未能解決的，又需要解決的，而且在自己頭腦中顯然已有所思考的問題，也就是解決力和運動的定量關系問題時提出的，所以它應是第一定律順理成章的延伸。

為此，牛頓首先接受并發展了笛卡爾關于用“運動量”來量度運動的思想，把“運動（量）”一詞定義為物體的質量m和速度v的乘積，即有P=mv且構成一個矢量，進而他用“運動（量）的改變”表征“運動狀態的改變”。這樣，他就延續第一定律的思想，自然而然地把“力”和“運動（量）的改變”聯系起來，從而提出了力和運動（量）改變之間的一種定量表述，即兩者成正比。

實際上，力和運動量改變之間的正比關系，只是牛頓為建立他的力學理論體系的一種選擇。所以做這種選擇是以追求簡單化為原則，并能保持這種關系的矢量性。

這就是牛頓為確立第二定律所做的工作，也就是說，牛頓并未給出今天我們所知道的第二定律的表達式。

根據牛頓在他《原理》中對其他問題的分析可以判斷，他的“變化”一詞應理解為“對時間的變化率”。據此，在《原理》出版后63年、牛頓逝世后23年，瑞士科學家歐勒在1750年給出了第二定律的準確表達式

F=kdPdt

=kmvdt(1)

鑒于當時認為質量m是一不變量，就有

F=kmdvdt=kma(2)

式（1）和式（2）原來都是對物體只受一個力的情況而言的。在一個物體同時受到幾個力的作用時，它們和物體的加速度是什么關系呢？實驗表明：這幾個力的作用效果跟等于它們矢量和的那一個力的效果一樣。這一結論叫做力的疊加原理。至此，式（1）和式（2）中的F應理解為一個物體受到的合力。

牛頓所表述的第二定律只在一定程度上給出了力和運動的定量關系，還沒有解決力和慣性的量度問題。這種問題的解決是由歐勒和后來的馬赫與麥克斯韋完成的。他們提出：從式（2）可知，以不同外力F1和F2作用于同一物體，會分別產生加速度a1和a2，且必有

F1F2=a1a2

如選定F1為“單位力”，則其它力的量度便可確定。

可見，如果說第一定律給出了力的定性的定義，則第二定律就由此給出了力的操作性定義，即力的度量可以由它對一選定物體所產生的加速度與指定的單位力對同一物體所產生的加速度的比值來定義。這樣就把力的度量用一套實驗程序表達了出來。

類似地，設想用同樣的外力分別作用于以m1和m2來表征其質量的兩個物體上，加速度分別為a1和a2，根據式（2），必有

m2m1=a1a2

即在相同的力作用下，物體的質量和加速度成反比，質量大的物體產生的加速度小，難于改變其運動狀態，也就是它的慣性大。因此，可以說質量是慣性大小的量度。這樣定義的質量就叫做慣性質量。這時，“質量”一詞已不同于含混不清的“物質的量”了。

上式中，如選定m1為“單位質量”，則其他質量的量度便可確定。因此，第二定律也給出了質量的量度程序。

關于質量的這種定義，馬赫的說法是“兩個物體經過相互作用所獲得的加速度的負比值等于它們質量的反比”；麥克斯韋的說法是：“一個確定的力先后對兩個物體施加作用時，所獲得的加速度比值等于它們的質量的反比”。

基本物理概念的建立總是同相應的物理定律分不開的。力的定義和質量的定義就同牛頓第二定律的內容分不開。但是，我們絕不能把第二定律純粹歸結為力和質量的定義，從而抹殺了歸根結底還是建立在實驗事實和理性思維基礎上的第二定律的物理實質。

至于式（2）中比例系數的數值，則與相關物理量的單位選擇有關。例如，歐勒就曾把質量單位選為1克，加速度單位選為1厘米/秒2，并把作用于質量為1克的物體并產生1厘米/秒2加速度的力選作“一個單位力”，且稱之為“1達因”，于是式（2）中的比例系數k就等于1。這就是長期使用過的“厘米#8226;克#8226;秒”單位制。

今天，我們一般都選用國際單位制，即質量單位為1千克（kg)、長度單位為1米（m）、時間單位為1秒（s)，且把作用于1kg物體并使其產生1m/s2加速度的力選為“一個單位力”，稱為1牛頓（N），這樣式（2）中的比例系數k也等于1。

于是，我們把牛頓第二定律寫為

F=ma(3)

2.3 第三定律

牛頓敘述的第三定律的中譯文是：

“對于每一個作用，都有一個相等的反作用；或者說，兩個物體間的相互作用總是相等的，而且指向相反”。

牛頓第三定律F=-F，進一步揭示了力的相互作用的性質，它是牛頓通過分析笛卡爾、惠更斯等人對碰撞問題的研究得到的動量守恒定律來得出的。在一定意義上，可以說先有動量守恒，后有牛頓第三定律。因此 ，牛頓第三定律就是用力的語言（表象）表述的動量守恒定律。

3 科學定律的確立過程與現實教學之間的關系

首先，物理學發展史是物理學的重要組成部分。完全脫離開物理學發展史去進行物理教學，不僅不能從前輩科學家的思維方式和研究方法中得其精髓，有所借鑒，而且對物理概念、原理以及規律的理解和認識必將失之膚淺和表面。但現實教學也不可能、不必要、不應該完全重復歷史，而要對其進行剪裁，也就是要選取科學問題提出、深化和解決過程中的關鍵情節、主要物理學家的思維方式和研究方法的精華、對科學結論內涵的深刻闡釋，并把它們熔于一爐，體現在現實教學之中。

其次，上述的剪裁一方面不能歪曲歷史，另一方面也要看到，許多科學發現，隨著科學本身的發展，不斷地得到新的補充，新的闡釋，甚至是一種新的改造。因此，在教學中要用發展的觀點進行現代審視，也就是說，即使是剪裁過的歷史，在一定程度上也不再是歷史的重述，而可以成為一種新的教學結構和線索。例如，當年焦耳所做的大量實驗只是為了測量熱功當量，但今天我們已經超越了焦耳的視角，把焦耳實驗看作是熱力學第一定律的實驗基礎。

第三，在不違背教學內容的科學內涵的前提下，新的教學結構和線索的設計，應該照顧到學生的基礎和認知水平，不過分追求數學上的嚴密和理論體系在邏輯上的嚴謹，而要注重物理思想的清晰和物理圖像的鮮明。例如，在引力定律的教學中，一方面我們追尋了科學天文學的起步和地心說到日心說的演進過程，講解了開普勒的行星運動定律，也引入了牛頓關于蘋果與月亮的思考、月地檢驗和卡文迪許引力常量的測定，這就把科學問題的提出、深化與解決過程中的關鍵情節、相關物理學家思維方式和研究方法的精華、引力定律的深刻內涵展現出來了；但是另一方面，在引力公式推導的過程中，卻并沒有采用牛頓在《原理》中采用的幾何學求極限的方法，而是在圓周運動的特殊情況下，直接利用了牛頓第二定律的歐勒表示，這就既撇開了幾何學求極限方法的繁瑣與困難，又與學生的已有認知基礎和水平相銜接，而且不違反科學性原則。應該說，這就是一種適合現實教學實際的一種教學結構和線索。

4 牛頓運動定律教學結構和線索的試探性方案

4.1 第一定律

（1）以適當事例引出亞里士多德觀點；

（2）講述伽俐略理想實驗和所得結論，討論他的不足之處；

（3）介紹笛卡爾的思想及其慣性定律的表述；

（4）講述牛頓的工作，給出第一定律的牛頓表述；

（5）分析第一定律，揭示其深刻內涵：

①定義了慣性的概念，指出了慣性的物理意義；

②定義了力的概念，指出了力是改變物體運動的原因；

③定義了慣性參考系，指出參考系有慣性參考系和非慣性參考系之分。

（6）簡要的歷史回顧，視學生情況而取舍。

4.2 第二定律（方案之一）

設計思想

牛頓第二定律的完整確立是一個相當長的發展過程，現實教學不必要予以重復。要在確保揭示第二定律物理實質的主要方面的情況下，設計一種教學結構和線索。這種設計基于以下前提和認識：

（1）承認學生已經知道力的單位是1N，質量單位是1kg，質量為1kg的物體所受重力為9.8N。

（2）把第二定律看成一個完整的物理定律，不再區分牛頓、歐勒、馬赫和麥克斯韋的工作。

（3）雖然第二定律在牛頓那里只是在分析第一定律的基礎上對力和運動關系的一種選擇，并非是一個直接由實驗得出的定律，但是又必須承認，第二定律確實是具有實驗基礎的。這表現在，對同一物體，作用力愈強，其速度改變得愈快；對不同物體，在同一強度的力作用下，它們速度改變得快慢一般有所不同。對于這種實驗基礎或常識，學生是認可的。因此從實驗探究入手來確立第二定律，作為一種教學結構，并不違背科學性原則。這種教學結構不是歷史的真實反映，但它是物理問題的真實反映。正如法拉第電磁感應定律，它本是紐曼、韋伯等根據超距作用觀點，通過理論分析給出的，并不是法拉第從實驗中得出的，但是現在已有不少教師，設計了各不相同的實驗，從實驗探究的角度得出法拉第電磁感應定律。我們會因為他們未能遵循歷史的軌跡而否定他們的探索嗎？

教學結構與線索

（1）第一定律的回顧

力可以改變物體的運動狀態。物體的運動狀態用速度來描述。

（2）常識或簡單實驗的啟示

作用于同樣質量的物體上的力越大，物體運動狀態改變得越快，反之則越慢。

同樣大小的力作用于質量不同的物體，質量愈大的物體，運動狀態改變得愈慢，反之則愈快。

運動狀態改變的快慢用“速度的時間變化率”，即加速度來描述。

可見，物體的加速度的大小與其受力的大小有關，也與其自身的質量有關。

那么，它們的具體關系是什么呢？

（3）實驗：探究加速度與力的關系

選擇物體的質量不變，研究加速度a與其受力的關系：

①設計并進行實驗；獲取數據；建立aF坐標；擬合aF圖線。

②觀察aF圖線，呈線性關系，但與正比關系有些不同。正比關系是最簡單的一種線性關系，我們能否就認定a與F成正比的關系呢？

沒有誤差的實驗是不存在的。不能跟學生說，如果沒有誤差，a與F就會成正比關系。這絕對是一句外行話。應該指出，一方面實驗中的aF圖線很接近正比關系，另一方面是，在物理學建立自身理論的過程中，“約定”起著重要的作用。愛因斯坦曾經指出：“約定是我們精神的自由活動的產物，但自由并非任意之謂，它要受到實驗事實的引導和避免一切矛盾的限制；約定有著巨大的方法論功能，在從事實過渡到實驗定律，尤其是從實驗上升到原理時則更加明顯”。他還說：“雖然事件和實驗事實是整個科學的根基，但它們并不構成科學的內容和它的真正本質。科學的內容和本質還需要理性思維的構造。”這就是我們在實驗基礎之上，又不完全拘泥于實驗結果，認定a與F成正比的原因。

（4）實驗：探究加速度與質量的關系

選擇作用力不變，研究物體加速度的大小與物體質量大小的關系：

①設計并進行實驗；獲取數據；建立a1/m坐標（由am坐標及圖線演化而來的）；擬合a1/m圖線。

②觀察并分析a1/m圖線，依前述理由認定a與1/m成正比關系。

（5）討論：怎樣從a∝F和a∝1/m，得到a∝Fm，并可以寫成F=kma？這一討論是一定要做的。

（6）第二定律的文字表述與數學表達式

（7）第二定律表達式中F的理解

（8）第二定律表達式中k的取值與力的單位

比例系數k的取值與式中相關物理量的單位選取有關。在國際單位制中，質量單位為1kg，長度單位為1m，時間單位為1s，并把使1kg物體產生1m/s2加速度的力選擇為“1個單位力”且表為1N，比例系數k就等于1。由此，第二定律的常見表達式為

F=ma

過去我們說的力的單位為1牛頓（1N）就是這樣來的，而質量為1kg的物體所受重力為9.8N，就來自于

G=mg=1kg#8226;9.8m/s2=9.8kg#8226;m/s2

=9.8N

（9）第二定律的意義

①給出了力的操作性定義；

②明確了質量是慣性的量度。

（10）第二定律確立過程的簡要歷史回顧

①牛頓、歐勒、馬赫和麥克斯韋的工作；

②質量概念的演化與發展。

4.3 第二定律（方案之二）

設計思想

把牛頓第二定律看成一個完整的物理定律，不區分牛頓和其他人的工作，但從第二定律確立過程的線索進行教學，而把學生對于a與F和a與m關系的實驗研究作為第二定律的一種驗證。

教學結構與線索

（1）牛頓第二定律的確立

①由第一定律可知，物體受到一外力時，其運動狀態要發生變化。

牛頓把物體的運動狀態用運動量來描述，并把一個物體的運動量定義為其質量m與速度v的乘積。以P表示，則有

P=mv

在不同大小的力作用下，物體運動量的變化有快慢之分；量度這種變化快慢的物理量應是“運動量對時間的變化率”，即是ΔPΔt。

因此，物體運動量的變化率ΔPΔt與物體受力F的大小和方向有關。

②在ΔPΔt與F的多種可能的關系中，牛頓選擇了一種最簡單的關系，即F與ΔPΔt成正比，其數學表達式為

F=kΔPΔt

這種關系能夠保持F與ΔPΔt的矢量性，而且顯示出運動量變化率的方向與外力的方向一致。式中k為一比例系數。

③由于當時認為物體的質量是一不變量，故上式可改寫為

F=kmΔvΔt=kma

式中a為物體的平均加速度。當Δt很小時，a就是物體的瞬時加速度。

當物體同時受到幾個力的作用時，上式中的F可理解為該物體所受的合力。

④上式中比例系數k的取值與式中物理量的單位選擇有關。在國際單位制中，把作用于質量為1kg的物體并使其產生1m/s2加速度的力選作“一個單位力”，稱為1牛頓，記為1N。這樣式中的k就等于1。牛頓第二定律的表達式即為

F=ma

⑤牛頓第二定律的文字表述

（2）牛頓第二定律的意義

①給出了力的操作性定義；

②明確了質量是物體慣性的量度。

（3）牛頓第二定律的實驗驗證

①實驗一：m不變，得a∝F；

②實驗二：F不變，得a∝1/m；

③論證：從實驗一和實驗二如何得出a∝F/m。

（4）牛頓第二定律確立過程的簡單回顧

①牛頓、歐勒、馬赫和麥克斯韋的工作；

②質量概念的演進。

4.4 第三定律

第三定律的教學，相對來說要簡單些。教學中應強調是第三定律揭示了力的相互作用的性質，因而每一個力都必須有它的施力者和受力者。

第三定律與動量守恒定律的關系，可視學生水平而取舍。

在講授第二定律和第三定律時，都應指出，和第一定律一樣，它們都只在慣性參考系中成立。

(欄目編輯廖伯琴)

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