物理問題解決中的函數思想

摘要：本文主要介紹如何用數學中的函數思想解決物理習題。

關鍵詞：物理問題；函數思想

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148(2011)5(S)-0012-3

培養學生利用數學知識解決物理問題的能力是中學物理教學的基本要求。函數是數學的重要組成部分，若以函數思想來審視物理中的變量之間的關系，往往能夠化難為易，化繁為簡，起到事半功倍的作用，不但能提高學生的知識遷移能力，而且可以開闊學生的視野，加強學生對物理學習的深度，激發學生的興趣。

1 注意運用函數的表達形式解決物理問題

用函數思想審視物理中的變量，建立相應變量之間的函數關系，通過選擇函數的表達形式，如圖像、解析式、列表等，可以將物理中的定量問題和定性問題相互轉化，有時效果令人驚喜。

例1 做勻變速直線運動的物體，在某一段時間內，經過中間時刻的速度v1和經過中點位置的速度v2，哪一個大？

分析 如果按照常規思路，對問題進行定量計算，要先設初、末速度，再根據經過中間時刻的速度v1與經過中點位置的速度v2分別跟初、末速度的關系，列方程求出v1和v2，對v1-v2運用不等式的性質判斷正負，需大費周折，才能解決。從另一個角度，視速度為時間的函數，利用函數的圖像并結合積分的幾何意義，容易找到簡捷解法。

解 勻變速直線運動的速度v與時間t的函數v=f(t)的圖像如圖1所示。

觀察圖像可知，中間時刻的速度v1就是t=t02時的速度，直線t=t1將梯形的面積平分，由∫t00f(t)dt的幾何意義可知，中點位置的速度v2就是t=t1時的速度，中間時刻的速度v1小于中點位置的速度v2。

運用函數圖像，通過數形結合，直觀、形象地反映物理量之間的關系，既能加深對物理規律的理解，又可減少計算量。

2 關注函數的定義域與值域的制約關系解決物理中的范圍問題

已知一個物理量的取值范圍，確定另一個物理量的取值范圍時，若以函數思想看待這樣的問題，將一個物理量視為另一個物理量的函數，將定義域對值域的制約作用恰當地運用到物理問題的解決過程中，讓人感到妙處無窮。

例2 初速度為零的離子經過電勢差為U的電場加速后，從離子槍T中水平射出，經過一段路程后進入水平放置的兩平行金屬板MN和PQ中間。離子所經空間存在一磁感應強度為B的勻強磁場（如圖3），不考慮重力作用。離子的比荷qm（q，m分別是離子的電量與質量）在什么范圍內，離子才能打在金屬板上？

分析 離子通過電場加速后進入磁場，在磁場力作用下，做勻速圓周運動發生偏轉。假設離子從進入磁場到打在金屬板上某一點的水平距離為x，只要建立一個qm跟x的函數表達式，視qm為x的函數，依據題意確定x的范圍，即定義域，再根據定義域求值域，從求得qm范圍。

解 當離子經過電場加速后有

12mv2=qU（1）

在磁場中受到洛侖茲力作用，做勻速圓周運動得

Bvq=mv2R（2）

當離子打在金屬板上時，根據幾何關系有：

R2=x2+(R-d2)2（3）

聯立（1）、（2）、（3）解得

qm=2Ud2(x2+d24)2B2(4)

(4)式就是qm關于x的一個函數表達式。依題意離子能打在金屬板上，則x的定義域為d≤x≤2d，于是可求得qm的值域32U289d2B2≤qm≤32U25d2B2，所以離子的比荷qm取值范圍為32U289d2B2≤qm≤32U25d2B2時，離子才能打在金屬板上。

3 運用函數的性質求物理中的變量問題

已知某一個或幾個物理量的變化，討論另一個物理量的變化和極值時，若以函數的觀點看待這些問題，可以用函數的單調性、最大值、最小值等這些性質來解決問題，既可以使學生加深對函數性質的理解，又能提高學生應用數學解決物理問題的能力。

例3 如圖4所示，電子在電勢差U1的加速電場中由靜止開始運動，然后射入電勢差U2的兩塊平行極板間的電場中，入射方向跟極板平行，整個裝置處在真空中，重力可忽略，在滿足電子能射出平行板區的條件下，下述四種情況中，一定能使電子的偏轉角θ變大的是（ ）

A.U1變大，U2變大；

B.U1變小，U2變大；

C.U1變大，U2變小；

D.U1變小，U2變小。

分析 當電子加速后，進入水平放置的兩塊平行極板間受到電場力作用發生偏轉，只要建立一個θ跟U1、U2的函數表達式，通過討論函數的增減性，就可知道θ變大的原因。

解 設兩平行極板之間的距離為d，長度為L，電子在U1電場中加速后速度為12mv02=U1e

即v0=2U1em

電子從進入到射出平行極板所用時間為

t=Lv0=Lm2U1e

加速度為a，由U2de=ma，得a=U2emd

剛射出平行極板時，跟電場方向平行的速度大小為

v1=at=LU2emdm2U1e

偏轉角度為θ，有tanθ=v1v0=LU22U1d，

這是一個tanθ跟U1、U2的函數表達式。

討論 根據物理條件0°≤θ≤90°，

當U1不變時，上式為增函數，故U2增大時，tanθ增大，θ也增大；

當U2不變時，上式是減函數，則U1增大時，tanθ減小，θ也減小。

顯然B為正確答案。

例4 如圖5所示，光滑斜面與水平面夾角是α。在斜面上放一個質量為m圓球，再用光滑平板A擋住。現在緩慢地改變板A與斜面的夾角θ，當θ=____時，A板對球的作用力最小，最小力為____。

分析 如圖5可知圓球受到三個力作用，重力mg，斜面對它的支持力N1，擋板對它的壓力N2。以豎直方向為縱坐標軸，水平方向為橫坐標軸，原點在球心，建立直角坐標系。分別將N1、N2分解在x軸、y軸上，根據平衡條件，確定N2跟θ的函數表達式，通過求函數的最值來解決問題。

解 如圖知在x軸上

N1sinα=N2sin(α+θ)（1）

在y軸上

N1cosα=mg+N2cos(α+θ)（2）

由（1）、（2）得

N2=mgctgαsin(α+θ)-cos(α+θ)

=mgsinαsinθ

由于mgsinα為恒量，這是一個N2跟θ的函數關系式。根據物理條件α＜θ＜180°，當θ=90°時，sinθ 的最大值為1，故N2有最小值mgsinα。

即當θ=90°時，A板對球的作用力最小，最小力為mgsinα。

在解決物理問題的過程中，簡單機械地套用數學工具，有時無助于問題的解決，若能以數學思想來看待這些問題，不但能靈活解決問題，而且能開闊學生的解題視野，這對培養學生能力的積極意義是不言而喻的。

(欄目編輯趙保鋼)

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