如何用功的定義式W=Fxcosα求解變力做功?

功的定義式W=Fxcosα并不是普遍適用的，它只適用于大小和方向均不變的恒力做功。計算時其中的F是恒力的大小，x是力F的作用點發(fā)生的位移大小，α是力F與位移x的夾角。在高中階段求解變力做功的問題，既是學(xué)生學(xué)習和掌握的難點，也是教師教學(xué)的難點。在遇到求解變力做功時，如果進行恰當?shù)奶幚?，也可用功的定義式W=Fxcosα直接進行計算。

1 平均值法：求出整個過程中力的平均值代入功的定義式W=Fxcosα計算出變力做的功

求變力做功可通過W=F#8226;x求，但只有在變力F與位移x成正比例、或一次函數(shù)關(guān)系時，即成線性關(guān)系時，F(xiàn)=F1+F22才成立。用平均值求變力做功的關(guān)鍵是先判斷變力F與位移x是否成線性關(guān)系，然后求出該過程初狀態(tài)的力F1和末狀態(tài)的力F2，進而計算出整個過程的平均力，然后帶入功的定義式計算出整個過程中變力所做的功。

例1 如圖1所示，在盛有水的圓柱形容器內(nèi)豎直地浮著一塊立方體木塊，木塊的邊長為h，其密度為水的密度ρ的一半，橫截面積也為容器截面積的一半，水面高為2h，現(xiàn)用力緩慢地把木塊壓到容器底上，設(shè)水不會溢出，求壓力所做的功。

解析 木塊下降的同時水面上升，因緩慢地把木塊壓到容器底上，所以壓力總等于增加的浮力，壓力是變力，當木塊完全浸沒在水中的下降過程壓力是恒力。本題的解法很多，現(xiàn)用平均值法求解。

木塊從開始到完全浸沒在水中，設(shè)木塊下降x1，水面上升x2根據(jù)水的體積不變，則：

h2x1=h2x2，得x1=x2，

所以當木塊下降h4時，木塊恰好完全浸沒在水中，F(xiàn)=ΔF浮=ρgh2(x1+x2)

=2ρgh2x1∝x1

所以W1=Fh4=F1+F22h4

=ρgh2h22h4=116ρgh4

木塊恰好完全浸沒在水中，再經(jīng)Δh=2h-3h4=54h到容器底部，壓力為恒力F=ρgh2h2。

所以W2=FΔh=ρgh2h2#8226;54h

=58ρgh4；

故壓力所做的功為：

W=W1+W2=1116ρgh4

小結(jié) 當已知力為線性變化的力時，我們可以求平均力，然后再利用功的公式進行求解。類似的例子還有很多，像求彈簧彈力做功時，就可以用這種辦法。

2 圖象法：根據(jù)功的定義式W=Fxcosα可知，在F-x的圖象中，圖線與坐標軸所圍成的面積表示力F所做功

如果參與做功的變力，方向與位移方向始終一致而大小隨時變化，我們可作出該力隨位移變化的圖象，如圖2。根據(jù)公式W=Fx可知，圖線下方所圍成的面積，即為變力所做的功。

例2 用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，設(shè)木塊對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進入木塊內(nèi)的深度成正比。在鐵錘擊第一次時，能把鐵釘擊入木塊內(nèi)1cm。問擊第二次時能擊入多少深度?(設(shè)鐵錘每次做功相等)

解析 因為阻力F=kx，以F為縱坐標，F(xiàn)方向上的位移x為橫坐標，作出F-x圖象，如圖3所示，函數(shù)線與x軸所夾陰影部分面積的值等于F對鐵釘做的功。

由于兩次做功相等，故有：S1=S2（面積）

即12kx12=12k(x2+x1)(x2-x1)

則擊第二次時能擊入的深度為：

Δx=x2-x1=0.41cm

小結(jié) 一個看似復(fù)雜的變力做功問題，用常規(guī)方法無從下手，但通過圖象變換，就使得解題過程簡單、明了?？梢?，圖象法是一個很好的解題方法，值得掌握。

3 微元法：化“變”為“恒”

求變力做功還可以用微元累積法，把整個過程分成極短的很多段，在極短的每一段里，力可以看成是恒力，則可用功的定義式求每一段元功，再求每一小段上做的元功的代數(shù)和。用微元累積法的關(guān)鍵是如何選擇恰當?shù)奈⒃?，如何對微元作恰當?shù)奈锢砗蛿?shù)學(xué)處理，微元累積法對數(shù)學(xué)知識的要求比較高。

例3 如圖4所示，某人用力F轉(zhuǎn)動半徑為R的轉(zhuǎn)盤，力F始終作用在轉(zhuǎn)盤的邊緣一點P，大小不變，方向沿切向，則轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一周該力做多少功。

解析 在轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一周過程中，力F的方向時刻變化，但每一瞬時力F總是與該點的瞬時速度同向(切線方向)，即F在每瞬時與P點轉(zhuǎn)過的極小位移ΔS1、ΔS2、ΔS3……ΔSn同向，因而在轉(zhuǎn)動一周過程中，力F做的功應(yīng)等于在各極小位移段所做功的代數(shù)和，即：

W=（FΔS1+FΔS2+FΔS3+…+FΔSn)

=F(ΔS1+ΔS2+ΔS3+…+ΔSn)

=F#8226;2πR

小結(jié) 變力始終與速度在同一直線上或成某一固定角度時，可把曲線運動或往復(fù)運動的路線拉直考慮，在各小段位移上將變力轉(zhuǎn)化為恒力用W=Fxcosα計算功，那么變力所做功應(yīng)等于變力在各小段所做功之和。化曲為直的思想在物理學(xué)研究中有很重要的應(yīng)用。

4 轉(zhuǎn)換研究對象法：將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功

求某個過程中的變力做功，可以通過轉(zhuǎn)換研究對象法把求該變力做功轉(zhuǎn)換成求與該變力做功相同的恒力的功，此時可用功定義式W=Fxcosα求恒力的功，從而可知該變力的功。等效轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵是分析清楚該變力做功到底與哪個恒力的功是相同的。

例4 人在A點拉著繩通過一定滑輪吊起質(zhì)量m=50kg的物體，如圖5所示。開始繩與水平方向夾角為60°，當人勻速提起重物由A點沿水平方向運動S=2m而到達B點，此時繩與水平方向成30°角，求人對繩的拉力做了多少功？

解析 人對繩的拉力大小雖然始終等于物體的重力，但方向卻時刻在變，而已知的位移S方向一直水平，所以無法利用W=Fxcosα直接求拉力的功。若轉(zhuǎn)換一下研究對象則不難發(fā)現(xiàn)，人對繩的拉力的功與繩對物體的拉力的功是相同的，而繩對物體的拉力是恒力，可利用W=Fxcosα求解。

設(shè)滑輪距地面的高度為h，則：

h(cot30°-cot60°)=S

人由A走到B的過程中，重物上升的高度Δh等于滑輪右側(cè)繩子增加的長度，即：

Δh=hsin30°-hsin60°

人對繩子做的功：

W=mg#8226;Δh=mgS(3-1)

=1000(3-1)J≈732J

小結(jié) 把變力做功巧妙轉(zhuǎn)化為恒力做功也是一種很有效的求解方法。

求變力做功的方法很多，除了用功的定義式W=Fxcosα，還有很多其它方法。比如用動能定理、功率的表達式W=Pt、功能關(guān)系等等。上述不同方法各有優(yōu)點，同一道題目可用的方法不止一種，比如用平均值法的問題，必可用圖像法解決，用動能定理求解的問題亦可用功能關(guān)系解決等等。總之，要正確快速的求解變力做功問題，需要掌握求解變力做功的基本方法，并將這些方法融會貫通，做到舉一反三。

(欄目編輯陳 潔)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文