物理的無單位公式與數學的正反比例

摘要：逐個對象運用多個物理公式進行計算與多個對象同用一個物理公式進行計算，思維方法是大不相同的。而目前義務教育階段缺少的正是后一種思維方法，以及缺少準確表達這種思維方法的物理語言。本文從初中生認知的實際水平出發，提出了自己的具體方法，闡述了此種思維方法的突出優點和價值，為學生進入高中階段處理復雜計算打下堅實的基礎。

關鍵詞：分析計算能力；改組已有知識的能力；思維焦點；整體把握題意；帶有個性的智慧色彩

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148(2011)5(S)-0039-4

1 背景

義務教育階段在運用物理公式進行計算的教學過程中，師生雙方的思維活動總是按照以下方式展開：通過公式或公式變形，由兩個已知量，求出一個未知量。誠然，這種在同一對象中運用物理公式計算出物理量大小的思維方式，容易正向遷移到包含多個對象的計算題中，只要逐步引導學生如何運用公式計算出中間量，就能逐級求出下一個對象的未知的物理量的大小，形成學生運用物理公式進行分析計算的綜合能力。但是，每一次運用公式進行計算，都要有具體的兩個物理量大小，這就決定了此種思維方式下培養出來的分析計算能力，無法解答類似下面的計算題。

題目 若兩個定值電阻R1、R2以某種方式連接起來與電源接通，R1消耗的電功率是9W；若把此二電阻換成另一種連接后仍與該電源接通，則R1消耗的電功率是16W，且通過R2的電流為4A。求電源電壓和R1、R2的阻值各是多大?(電源電壓保持不變)

學生困惑：題目中包含了R1、R2和電源三個對象，但是，在同一個對象中，僅已知了一個物理量的大小，由公式入手分析，還缺少一個物理量的大小。

教師困惑：雖說數學的正反比例是解決此類計算題的方法，但在師生雙方分析交流的過程中，頗為費力。其根本原因不是方法的缺失，而是找不到合適的物理語言在黑板上板書，以便即時、有效地與學生溝通。

迷津指點：學生需拓寬思維的視野，擺脫依靠計算出中間量具體大小逐級展開計算的思維束縛，尋求計算物理量具體大小的另一類思維方式；教師需研究合適的文字語言，探究出有物理學科特點的能傳遞物理量正反比例關系的通用表達方式。從認知完善過程來看，無論是上述哪一方的探尋，本質上都是對已有思維的一種否定過程。

實際做法：幫助初中生完善已有計算思維的否定過程，根本上還得依靠物理公式，在學生經歷肯定中有否定，否定中有肯定的認識過程中，培養和發展學生改組已有知識的能力，增強學生作為認識主體的能動性。在實際改組知識的教學過程中筆者引出了物理的無單位公式。

2 物理的無單位公式建模過程

2．1 來源于比值求解

已知 I1I2=23，U1U2=2，求R1R2=？

解 R1R2=U1I1U2I2=U1U2I1I2=3

2．2 變換于形與本的統一

上面的結果R1R2=U1U2I1I2，在形式上與物理公式R=UI極為相似，本質上都是反映歐姆定律的形式之一。基于此，為簡化求比公式的書寫形式，就有了如下的變換：

已知 I=23，U=2，求R=？

解 R=UI=223=3

請注意在上面的改組創新中，已知物理量等號后面的數已抽象為比值，是沒有單位的，同樣，依據公式求出的解R=3，后面也沒單位，其大小也是比值。由于運用公式計算的量沒有單位，是比值，物理的無單位公式由此得名。

3 物理的無單位公式建模的作用

3．1 減輕學生計算量，轉變思維焦點

例1 “220V 100W”的電燈，如果接在110V的電源上，這時的實際電功率為多大?

解 依題意電阻不變，則

電阻比值R=1

電壓的比值U=110V220V=12

根據公式可知P=U2R=14

故P實=14×100W=25W

上面的解法與傳統解法相比，解題過程的思維焦點，已由求解中間量的值，轉向求解第三對量的比值，最后才求出第三個物理量的具體大小。這種求解物理量具體大小的思維方式，突出的優點有下面幾點：①簡單、運算快。去除了中間量的計算，實際計算的過程簡單得能口算成解；②精準、不易錯。如果沒有用物理公式明確地表達數學正反比例的具體形式，就有不少學生將成正比的說成成反比，成反比的卻說成成正比，還常有，本應是與電壓平方成正比的，學生誤以為與電壓成正比；③通用、易交流。統一用物理公式分析物理量關系尋找求解的思路，用熟悉的物理公式來準確表達正反比例的代數形式，更易于師生雙方的思維交流。

于是，我們就有了兩種計算物理量大小的解題思路：當同一個對象有兩個已知的物理量時，運用公式計算出第三個物理量；當多個對象之間有兩對量的比值已知時，運用無單位公式計算出第三對物理量的比值，再由比值求解這一未知量。

第二種解題思路改變了我們計算物理量大小的思維焦點，這是認識上的一次飛躍。因為：(1)計算思維的過程由原來的一個對象、一個對象地運用公式逐級展開的過程，改變為僅用一次公式從所有思維對象已知的物理量中得出比值，再求出第三個物理量的大小，思維的展開不需要依靠中間量來傳承，計算過程更為簡潔；(2)思維過程中的中間量由原來必須計算出的物理量，變為正反比例規律的一個條件物理量，通過物理的無單位公式，直接得出一對變化量與另一對變化量之間的比值關系。

因此，對于正反比例條件的計算問題，我們有了物理的無單位公式，就有了一種整體思考對象物理量具體數值變化關系的能力，在多次實踐中能鍛煉出一步到位的計算能力，形成真正意義上的物理解題思路和方法。

3．2 由整體把握題意，就本質一步到位

例2 用彈簧測力計和水能很快地測出小石塊的密度嗎?請寫出具體的做法。

下表是有關初中生對這個實驗具體做法的認識和理解。

實驗操作認識和理解

用測力計稱出小石塊的重量為G用公式m=Gg，計算出小石塊的質量m

用測力計稱出小石塊浸沒在水中的重量F用公式V排=F浮ρ水g=G-Fρ水g，計算出小石塊排開水的體積V排，即為小石塊的體積V

小石塊密度的表達式ρ石=GG-Fρ水ρ石=mV=GgG-Fρ水g=GG-Fρ水，依次推導。

這種運用物理公式進行計算的思維模式，其思維的過程好像是一種模仿，模仿用天平、量筒測量密度的具體做法。模仿是一種繼承性較強的學習方式，雖無可厚非，但用在這里稍顯生硬，因為題目中根本就沒有天平和量筒。用物理的無單位公式進行思維，不用模仿，就能水到渠成，請看下面的審題過程。

(1)提取思維對象：小石塊、水

(2)組對物理量及公式

內容

第一對物理量第二對物理量無單位的物理公式第三對物理量

小石塊和水的重力G小石塊和水的密度ρρ=G小石塊和水的體積

由來通過測量工具測出的物理量要計算求得的目標物理量及隱藏的物理量G=ρVg作為條件的物理量

通過審題，不難組對第一對物理量和第二對物理量，再由第一對和第二對物理量找到適用的物理公式，最后，通過物理公式確定第三對條件物理量及無單位的物理公式。物理量成對出現是此種思維方法的一個特點，是整體把握題意的關鍵所在。

(3)實驗設計：按條件要求，所測的小石塊和水必須體積相等。

(4)具體做法：①用彈簧測力計稱出小石塊的重量為G；②用彈簧測力計稱出小石塊浸沒在水中的重量F；③由ρ石=GG-Fρ水，計算出小石塊的密度ρ石。

實踐表明，學生熟悉了此種方法后，就能一步到位寫出計算小石塊密度表達式：ρ石=GG-Fρ水。因為，V=1，g=1，所以ρ=G×1×1=G，即密度比等于重量比，這是正反比例規律的本質要求。

3.3 在同一對象與其它兩個對象間存在相等量時，傳遞比例等式，挖掘實際問題中“隱藏”的規律，使物理計算題的解題過程帶有個性的智慧色彩，造就成熟、穩健的思維品質

例 設某電烙鐵的電阻不隨溫度變化，直接連在電源上時，它消耗的功率為100瓦，如圖1所示。當它與電阻R0串聯后，仍接在該電源上時，電阻R0的功率為24瓦，如圖2所示。那么，電烙鐵的功率可能是多少?

分析 圖1中電烙鐵的電阻R和電壓U，分別與圖2中的電烙鐵的電阻、電源的電壓相等(同一對象有兩個物理量與另外兩個對象間存在相等關系)，同時，圖2中電烙鐵與電源之間存在電流I相同，如圖3所示。

因此，兩個圖中流過電烙鐵的電流之比與兩個圖中流過電源的電流之比相等，如圖4所示。

由圖3可知：電烙鐵電阻之比為1即R=1，根據公式P=I2R得電流之比I=P，電源電壓之比為1即U=1，根據公式P=UI得電流之比I=P。(注意：兩次求比公式對應的對象不同)

由于電流I之比相同，所以，電功率之間存在比例等式P1P2=P1P，化簡得，P=P1P2，公式所對應的物理量如圖5所示。

P=P1P2，這個“隱藏”的規律性電功率關系式，只有用這種求比方法推導，學生才能容易接受，它是解答此類題目比較有用的關系式。記住這種關系式，再依據總電功率等于各分電功率之和，學生就能輕松列出方程：P1P2=P2+P3，解得P2=16W或36W。思維簡潔明了，學生樂于接受，也樂于推敲。如果教師長期要求和引導學生去挖掘實際問題中“隱藏”的規律，就能使物理計算題的解題過程充滿著求知者個性的智慧色彩，極大地激發學生探究的熱情和志趣，如此，不僅培養了學生的抽象思維能力，而且磨練了他們的思維品質。

在文章的最后，筆者與各位讀者再一同分析背景中的那道計算題。

分析1 兩個電阻連入電路的方式一種為串聯，另一種為并聯，當它們接在同一電源上時，每個電阻分擔的電壓并聯方式總比串聯方式的大，同一電阻的電功率也就大些。于是，得如圖6和如圖7所示的電路圖。

分析2 對于電阻R1，圖6和圖7的電阻比R=1，電功率比為P=9W16W=916，根據公式U=PR=916×1=34，則圖6中，電阻R1和電阻R2的電壓比U=3。

分析3 在圖6中，電阻R1和電阻R2的電流I比I=1，電壓比U=3，則它們的電阻R=3。

分析4 在圖7中，電阻R1和電阻R2的電壓比U=1，電阻比R=3，則電流比I=13，所以，圖7中R1的電流I=13×4A=4A3。

分析5 圖7中R1的電流I=4A3，電功率P′1=16W，它的電阻R1=P′1I2=16W（4A3）2=9Ω，電阻R2=13R1=13×9Ω=3Ω。

(欄目編輯羅琬華)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文