排列組合問題的解題技巧

　　摘要：排列組合問題題型多樣，思路靈活，不易掌握，既有一般的規律，又有較多解題技巧。實踐證明，它要求我們要認真地審題，對題目中的信息進行科學地加工處理， 解決問題的有效方法是總結解題規律，掌握若干技巧，最終達到靈活運用。
　　關鍵詞：排列；組合；解題；技巧
　　
　　排列組合問題題型多樣，解法靈活，解題過程極易出現“重復”和“遺漏”的錯誤，所以解題時要注意不斷積累經驗，總結解題規律，掌握解題技巧，使一些看似復雜的問題迎刃而解。下面，我們就介紹幾種常用的解題技巧。
　　一、合理分類與準確分步法
　　 解含有約束條件的排列組合問題，應按元素的性質進行分類，按事件發生的連續過程分步，做到分類標準明確，分步層次清晰，不重不漏。
　　例1用紅、黃、藍、綠、黑5種顏色給（如圖1）a、b、c、d的四個區域染色，若相鄰的區域不能用相同的顏色，試問不同的染色方法有多少種？
　　解析1：整體分類，局部分步。
　　（1）a、d不同色，即用4種顏色給a、b、c、d四個區域染色有A45種方法； （2）a、d同色，即用3種顏色給a、b、c、d四個區域染色有A35種方法。 所以不同的染色方法共有A45+A35=180種。
　　解析2：整體分步，局部分類。
　　按“a→b→c→d”的順序給四個區域染色，第一步給a區域染色有5種方法，第二步給b區域染色有4種方法，第三步給c區域染色有3種方法，第四步給d區域染色應分兩類：①a、d 不同色時，d區域有2種染色方法；②a、d同色時，d區域有1種染色方法。
　　所以不同的染色方法共有5×4×3×（2+1）=180種。
　　二、特殊元素（或位置）“優先安排法”
　　對于特殊元素的排列組合問題，一般先考慮特殊元素，再考慮其他元素的安排，針對具體問題，有時“元素優先”，有時“位置優先”。
　　例2一生產過程有4道工序，每道工序需要安排1人照看。現從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙2名工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙2名工人中安排1人，則不同的安排方案共有（ ）。
　　A．24種B．36種
　　C．48種D．72種
　　解析1：“特殊位置優先”。
　　（1）第一道工序是乙，第四道工序是甲或丙，則不同的安排方案有2A24種；
　　（2）第一道工序是甲，第四道工序是丙，則不同的安排方案有A24種。
　　所以一共有2A24+A24=36種。
　　三、相鄰元素“捆綁法”
　　解決某幾個元素相鄰問題時，先“捆綁”再整體考慮，即將相鄰元素視作“一個”元素，再與其他元素一起排列，同時要注意“捆綁”元素內部的排列。
　　例38人排成一排，甲、乙必須分別緊靠站在丙的兩旁，有多少種排法？
　　解析：先把這3個人（相鄰元素）“捆綁”在一起，看做1個人，有A22種排法，再與其余5個人排成一排，有A66種排法，所以一共有A22A66=1 440種排法。
　　四、不相鄰元素“插空法”
　　元素不相鄰問題可先把沒有位置要求的元素進行排列，再把不相鄰元素插入中間或兩端。
　　例4排一張有8個節目的演出表，其中有3個小品，要求小品不能排在第一位，也不能有兩個小品排在一起，有多少種排法？
　　解析：先排5個非小品（無要求的元素）的節目，有A55種排法，它們之間以及最后一個節目之后一共有5個空位，將3個小品（要求不相鄰的元素）插入這5個空位，有A35種排法，所以一共有A55A35=7 200種排法。
　　五、分排問題“直排法”
　　把元素排成幾排的問題，可按一排考慮，再分段處理。
　　例58人排成前后兩排，每排4人，甲、乙排在前排，丙排在后排，有多少種排法？
　　解析：前后兩排可看成一排，甲、乙排在前排有A24種排法，丙排在后排有A14種排法，其余5人排在剩余位置上有A55種排法，故共有A24A14A55=5 760種排法。
　　六、“小團體”排列，“先團體后整體法”
　　對于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團體”時，可先按制約條件“組團”并視為一個元素，再與其他元素排列。
　　例6用1、2、3、4、5組成沒有重復數字的五位數，其中恰有兩個偶數在1、5之間，這樣的五位數有多少個？
　　解析：先把1、5、2、4當做一個小集團與３排列共有A22種排法，再排小集團內部共有A22A22種排法，由分步計數原理共有A22A22A22=8種排法。
　　七、平均分堆問題用“除法”
　　不同元素平均分成n堆，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分堆后一定要除以Ann(n為均分的堆數)，避免重復計數。
　　例7 現有不同的書A、B、C、D、E、F，（1）平均分給甲、乙、丙3人，有多少種分法？（2）平均