試析遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式

　　摘要：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、理解能力、邏輯思維能力的絕好載體，而求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)難點(diǎn)，遞推數(shù)列的題型多樣，求其通項(xiàng)公式的方法也非常靈活。筆者研究了近兩年的各省市高考題，下面對(duì)遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式的類(lèi)型作一個(gè)簡(jiǎn)要的分析。
　　關(guān)鍵詞：遞推數(shù)列；通項(xiàng)公式；分析
　　
　　遞推關(guān)系為 形如an+1=pan+q （p≠1 且q為不等于0的常數(shù)）的數(shù)列，可令an+1+x=p(an+x)，即an+1=pan+(p-1)x 與an+1=pan+q 比較得 x=，從而構(gòu)造一個(gè)以a1+ 為首項(xiàng)，以 p為公比的等比數(shù)列an+。 A
　　例1（2010全國(guó)卷1理數(shù)）已知數(shù)列an中，a1=1，an+1=c-。
　　（1）設(shè)c=，bn=，求數(shù)列bn 的通項(xiàng)公式。
　　（2）略。
　　解：（1）由已知有an+1-2=--2=，
　　∴==+2。
　　∵bn=4bn+2，
　　∴bn+1+=4(bn+)，
　　∴bn+是一個(gè)首項(xiàng)為-，公比為4的等比數(shù)列，
　　∴bn+1+=-·4n-1即bn= -·4n-1-。
　　類(lèi)型2遞推關(guān)系為an+1=pan+qn 及an+1=pan+f(n)(q、p為常數(shù)，且p≠1，q≠0)。它的解法是恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助數(shù)列，轉(zhuǎn)化為可通過(guò)累加、累乘等方法求通項(xiàng)的類(lèi)型。
　　例2（2009江西卷理）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an，a1=a，an=b，且對(duì)滿足m+n=p+q 的正整數(shù)m、n、p、q都有=。
　　（1）當(dāng)a=，b=時(shí)，求通項(xiàng) an。
　　（2）略。
　　解：（1）由 =得=。
　　將a1=，a2=代入化簡(jiǎn)得an=。易求得1、-1是函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)，所以=·，故數(shù)列為等比數(shù)列，從而=，即an=。
　　可驗(yàn)證，an= 滿足題設(shè)條件。
　　總之，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式，大多情況都是對(duì)遞推數(shù)列進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)或求不動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)造成熟悉的等差或等比數(shù)列，或變?yōu)榭赏ㄟ^(guò)累加、累乘等方法求通項(xiàng)的類(lèi)型，從而求出其通項(xiàng)公式。
　　
　　（保靖縣雅麗中學(xué)）
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