磨出探索的真諦

　　《倍數和因數》是大家耳熟能詳的課例了，本課的重點為探索怎樣找一個數的倍數和一個數的因數，靠老師的告知方式也是能讓學生知道找因數和找倍數的方法的，但要讓學生理解找的方法并能滲透有序找全的數學思想方法，卻并不簡單。布魯納說過：“探索是數學的生命線。”從某種意義上說，探究學習的目的不是單純地掌握數學知識，而是數學方法的學習與情感體驗的獲得。那么，在本節課中，如何適時、適度、高效地展開重點內容的探究，是我在設計本節課時思考的主要問題，但在初次教學嘗試中卻未能如愿：
　　案例一：找一個數因數的初次教學嘗試
　　（教學完因數和倍數的概念后）
　　師：（過渡）剛才通過把12個小正方形擺成不同的長方形，我們寫出了一組乘法算式。
　　1.想象擺，找36的因數。
　　（1）師：你會用36個小正方形擺成哪些不同的長方形？你能用乘法算式有序地來表示你的擺法嗎？要求做到既不重復，又不遺漏，可以嗎？請大家邊想邊寫。
　　（2）生獨立寫算式：
　　1×36=36
　　2×18=36
　　3×12=36
　　4×9=36
　　6×6=36
　　（3）交流算式：
　　還要繼續寫嗎？為什么？到怎樣的情況就不要找下去了？
　　2.說因數
　　（1）根據算式你能寫一寫36的因數有哪些嗎？
　　學生自己練習找36的因數。
　　教師反饋不同的情況。
　　（2）小結方法：對，為了能把一個數的因數找全不遺漏，我們可以一對一對地找；但為了寫出的數更有條理、更美觀，我們可以從小到大地寫。
　　案例反思
　　在這個教學過程中，本課的重點探究內容“怎樣找一個數的因數”被“你會擺成不同的長方形嗎？你能用乘法算式有序地表示出來嗎？”這樣的要求牽制著，探究的目的性從原來的探究“怎樣找一個數的因數”轉變成了“怎樣擺長方形”，而且整個探究的過程分成一系列連續的小步子，學生在這種引導下，只有了一種思維模式，只能“用乘法算式來表示擺法”，事實上找一個數的因數還可以想除法算式。在整個學習過程中，學生只是執行教師命令的操作員，就好像一臺臺電腦，教師編好程序，點擊鼠標，他們就開始工作。這樣的教學如果從掌握知識的角度來說，的確省時、高效，可是從“發展學生自主獲取知識的能力”的角度分析，可以發現，留給學生自主探究的空間過于狹窄，在學習的過程中，學生的思維活動連一點“旁逸斜出”的機會都沒有了，創新精神更是無從談起。
　　案例二：找一個數因數的再次教學嘗試
　　（教學完因數和倍數的概念后）
　　1.練習：3、5、18、20、36，任意選取兩個數用倍數和因數來說一說。
　　生1：3是18的因數，18是3的倍數。
　　生2：3是36的因數，36是3的倍數。
　　生3：5是20的因數，20是5的倍數。
　　生4:18是36的因數，36是18的倍數。
　　2.過渡：剛才的五個數中，哪些是36的因數？
　　生：3、18、36是36的因數。
　　師：3、18、36都是36的因數。那么36的因數只有這三個嗎？你能把36所有的因數都找出來嗎？（小組探究）
　　（1）提出要求，明確方法：
　　①提出探究要求，把36所有的因數都找出來。
　　②有困難的求助小組成員，也可以求助老師，爭取把36的所有因數都找出來。
　　③找到后填在學習紙上，如果能把找的方法寫下來更好。
　　④小組交流分享。
　　（2）自主探究，教師巡視。
　　（3）搜集典型，交流評價：
　　展示作業一：因數沒有找全的1、36、2、18、3、12、4、9
　　師：看了這位同學找的36的因數，你有什么想說的呢？
　　生：沒有找全，有遺漏。
　　展示作業二：因數有照錯的1、36、2、18、3、13、4、9、6
　　師：這位同學找的對嗎？
　　生：不對。
　　師：哪個因數不對呢？
　　生：13不是36的因數。
　　師：為什么13不是36的因數呢？
　　生：3×13不等于36。
　　展示作業三：找全的，排列無序的1、36、2、18、3、12、4、9、6
　　師：有錯的嗎？有遺漏的嗎？有重復的嗎？真了不起，想不想聽聽這位同學是怎樣做到不遺漏、不重復的？
　　生1：我是這樣做的：36÷1=36，36÷2=18，36÷4=9，36÷6=6
　　生2：我是這樣做的：1×36=36，2×18=36，3×12=36，6×6=36
　　師小結方法：第一個同學用36去分別除以1、2、3…除到重復就不除了，除數和商就是36的因數。
　　第二個同學想幾乘幾得36，從1開始乘起，乘到重復就不乘了，兩個乘數就是36的因數。
　　相應板書：（）×（）=36
　　 36÷（）=（）
　　師：誰來評價一下這種找因數的方法？對于這樣的排列你能評價一下嗎？
　　生：無序、亂。
　　師：你覺得怎么寫好呢？
　　生：從小到大。
　　展示作業四：找全排列有序的1、2、3、4、6、9、12、18、36
　　師：這樣好嗎？為什么？
　　生：從小到大，很整齊美觀。
　　（4）小結方法
　　師：對，為了能把一個數的因數找全但不遺漏，我們可以一對一對地找，但為了寫出的數更有條理、更美觀，我們可以從小到大地寫。
　　案例反思
　　在這兩個教學過程中，盡管教師給了學生探究的機會，但案例一的探究更顯得機械化，而案例二的探究更具備人性化，更符合孩子的認知水平，更能給孩子廣闊的思維空間，思維得到了更好的鍛煉，這樣探究活動就有了更好的價值。
　　1.教師找準了真探究的基礎——正確地把握了學生的知識起點。那就是已經找到了36的幾個因數，還能找到36的其他的因數嗎？標準指出，數學課程：“數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。”所以，我們在進行探究內容選擇時，應根據自己學生的基礎采取適度的原則。在一般情況下，探究問題的解決所需的能力應在學生的最近發展區之內，對這樣難度水平的問題學生通過努力可以解決。即選擇的探究內容對于學生來講，通過對他們已有的知識、能力的提取和綜合，是可以進行探究并能得到結果的，但是，這些內容對學生來講絕不能毫無疑問、不費努力即可解決。
　　2.教師營造了真探究的空間——案例二的教學為學生提供了充分的探究空間。“你能把36的所有因數都找出來嗎？先獨立思考，有困難可以尋求幫助。”“以學生為中心是探究教學的一個基本特征”。讓學生成為數學學習的主人，自主地進行學習活動。作為教師應定位于組織者、合作者、引導者的角色，定位的宗旨是對學生適時有效地提供必要的幫助與引導，而不是直接給出解決問題的方案，對于案例一來說就是教師直接給出了找因數的方法——想乘法算式，而案例二是由學生自己獲得數學猜想，并與同學分享自己的探索成果，最后在集體中一起驗證交流、修正猜想，而不是直接肯定或否定他們的猜想。在教學中，我們設置的探究問題間域要寬，截距要長，思維坡度要大，給學生提供一個充分自由的探索空間。
　　磨課的過程盡管是痛苦的，但收獲也是巨大的，每經歷一次磨課總能讓我悟到比書本上的理論更有價值的東西，在本課的教學中，通過兩次對比讓我終于領悟到了自主探索的真諦！
　　（作者單位 江蘇省江陰市實驗小學）