“子集”在命題推出關系中的應用

　　摘 要：數學是中小學必修課目之一，介紹“子集”思想在推出關系中的應用。具體是通過三個例題進行了解析：例1直接利用總結結論解題，例2從兩個角度去求參數范圍，例3則驗證該結論在開放性習題中是否成立。
　　關鍵詞：子集；命題推出關系；應用
　　
　　集合與命題一直緊密聯系在一起，體現了知識的統一性，而集合中的子集與命題推出關系更是融為一體，所以領會子集與命題推出關系之間的聯系，學會運用就至關重要，那么如何建立子集與推出關系之間等價關系，就成為重點問題，對于這類問題，我總結為“若命題p推出命題q，則p對應集合A是q對應集合B的子集”，以下面幾個案例，具體闡述這一結論。
　　例1.設p：實數x滿足x2-3x+2≤0，命題q：m+1≤x≤2m+4，若q是p的必要非充分條件，求m的取值范圍。
　　解：設p=A=x│1≤x≤2
　　q=B=x│m+1≤x≤2m+4
　　∵q是p的必要非充分條件
　　∴p?圯q
　　∴B是A的真子集
　　∴m+1≤12m+4≥2，解得-1≤m≤0
　　評析：初步理解“子集”在命題推出關系中的作用，消除了許多學生化簡命題后不知如何下手的困惑。解決此類問題一般是把充分條件，必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系。然后根據集合之間的關系列出關于參數不等式的求解。如果遇到命題否定類的推出關系，又該如何解決呢？我們從例2來探究一下這類問題的思路和解法。
　　例2.設p：實數x滿足x2-4ax+3a2＜0，其中a＞0，命題q：實數x滿足x2-x-6≤0x2+2x-8＞0，其中?劭p是?劭q的充分不必要條件，求a的取值范圍。
　　解法一：解：?劭p：x≤a或x≥3a
　　?劭q：x≤2或x＞3
　　設?劭p=A=x│x≤a或x≥3a
　　?劭q=Ｂ＝x│x≤2或x＞3
　　∵?劭p是?劭q的充分不必要條件。
　　∴?劭p?圯?劭q
　　∴A是B的真子集，
　　∴a≤23a＞3，解得1＜a≤2。
　　解法二：將p和q化簡，
　　p=A=x│a＜x＜3a
　　q=B=x│2＜x≤3
　　由?劭p是?劭q的充分不必要條件，
　　我們可知q是p的充分不必要條件，
　　∴q?圯p
　　∴B是A的真子集。
　　∴a≤23＜3a，解得1＜a≤2。
　　評析：從此例的兩種解法，我們可以總結為：在含有變量的命題中，凡是能使命題為真的變量的允許值集合，我們可以稱為此命題的對應值集合，那么我們可以將命題推出關系與對應值集合之間的聯系用下表表示
　　那么這個結論在開放性習題中是否也適應？這個結論在開放性習題中又該如何去用呢？我們通過例3感受一下。
　　例3.已知px│x2-8x-20≤0，qx│1-m≤x≤1+m
　　①是否存在實數m，使得x∈p是x∈q的充要條件，若存在，求出m的范圍；
　　②是否存在實數m，使得x∈p是x∈q的必要不充分條件，若存在，求出m的范圍；
　　解：①當x∈p是x∈q的充要條件時，p=q。
　　設p=A=x│-2≤x≤10
　　q=B=x│1-m≤x≤1+m
　　∴1-m=-21+m=10，此方程組無解。
　　由于該方程組無解，所以不存在實數m，使得x∈p是x∈q的充要條件。
　　②若x∈p是x∈q的必要不充分條件，則
　　x∈q?圯x∈p
　　∴q是p的真子集
　　q=B=x│1-m≤x≤1+m，p=A=x│-2≤x≤10
　　∴1-m＞1+m或1-m≤1+m1-m≥-21+m≤10
　　解得m≤3。
　　即當m≤3時，x∈p是x∈q的必要不充分條件。
　　從以上幾個例子可以看出，即使教材中比較難于理解的內容，只要我們融會貫通，將各章節數學知識高度融合，深入挖掘其蘊含的數學思想，我們就能找到學生易于理解的一般性結論，這也是數學老師的重要使命。
　　（作者單位 江蘇省徐州睢寧王集中學）