初中數學數形結合的教學探討

　　在初中階段學習數學基礎知識和培養學生解決實際問題的能力時，往往可以由數到形、以形思數、數形結合地考慮問題；把抽象的數量關系用圖形反映出來，利用比較直觀的圖形解決抽象的數量關系問題；也可用比較直觀的圖形使數量關系的變化趨勢更加明確；還可以把幾何圖形轉化為數量關系。“數形結合”是數學中最重要的，也是最基本的思想方法之一。數學大師華羅庚說:“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。”一語道出了數與形相結合的真諦。由此可見數形結合是解決許多數學問題的有效思想。綜合初中階段數學教材，數形結合思想的應用主要有以下幾個方面。
　　1.數軸上的點與實數的一一對應的關系。
　　數軸是初中數學教材中數形結合的第一個實例，它的建立不僅使最簡單的形與實數間建立了一一對應關系，而且揭示了數形間的內在聯系，使實數的很多性質可由數軸上相應點的位置關系得到形象生動的說明，將負數、相反數、絕對值、有理數的大小比較、實數的相關概念、不等式（組）的解集等知識將數和形有機地融合在一起，學生可以結合圖形進行直觀分析，以數和形為紐帶，解決問題。
　　例如：a、b、c在數軸上的位置如圖所示：且|a|=|b|，|c－a|+|c－b|+|a＋b|=?搖?搖?搖?搖。
　　探討：由數軸上的實數位置，負數、相反數、絕對值定義，對上式進行大小比較，由圖明顯觀察出：a＜0，b＞0，c＞0，可推出：c-a＞0，c-b＜0，a＋b=0，從而有：c-a-（c-b）+0=b-a。
　　2.平面上的點與有序實數對的一一對應的關系。
　　例如：已知點M（1-a，a+2）在第二象限，則a的取值范圍是（?搖?搖?搖?搖）。
　　A.a＞-2 B.-2＜a＜1 C.a＜-2 D.a＞1
　　探討：第一象限：（+，+）正正；第二象限：（-，+）負正；第三象限：（-，-）負負；第四象限：（+，-）正負。此有：1-a＞0，a+2＞0，可知a＜1，a＞-2，故選B。
　　3.函數式與圖像之間的關系。
　　例如：如圖所示，二次函數y=ax+bx+c（a≠0）的圖像經過A、B、C三點。
　　（1）觀察圖像，寫出A、B、C三點的坐標，并求出函數的解析式；
　　（2）求此拋物線的頂點坐標和對稱軸。
　　探討：求函數解析式時，依圖形我們要注意考慮函數表達式的三種一般形式，并能夠根據題目條件來選取合適的表達式來求解。頂點坐標和對稱軸則可以用相應的公式來求解。
　　4.線段（角）的和、差、倍、分等問題，充分利用數來反映形。
　　例如：如圖，OC、OD分別是∠AOB、∠AOC的平分線，且∠COD＝25°，求∠AOB的度數。
　　5.解三角形，求角度和邊長，引入了三角函數，這是用代數方法解決幾何問題。
　　例如：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線交AC于D，垂足為E，若∠A=30°，DE=4cm，求∠DBC的度數和CD的長。
　　6.“圓”這一章中，圓的定義，點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系等都是化為數量關系來處理的。
　　例如：如圖，在直角坐標系中，⊙A的半徑為4，A的坐標為（2，0），⊙A與x軸交于E、F兩點，與y軸交于C、D兩點，過C點作⊙A的切線BC交x軸于點B。（1）求直線BC的解析式；（2）若拋物線y=ax+bx+c的頂點在直線BC上，與x軸的交點恰為⊙A與x軸的交點，求拋物線的解析式；（3）試判斷點C是否在拋物線上，并說明理由。
　　7.統計初步中統計的第二種方法是繪制統計圖表，用這些圖表的反映數據的分情況布、發展趨勢等。
　　這種題型一般由大量的數據所組成，這里就不再舉例了，實際上就是通過“形”來反映數的特征，這是數形結合思想在實際中的直接應用。
　　由此可見解數形結合的問題時，應注意運用“由數想形，以形助數”的解題策略，充分挖掘題目中的已知條件，從而創造性地解決問題，使題目內容形象化、具體化，達到解答時事半功倍的效果。