關于區間的認識

　　摘 要： 本文就區間概念的理解作了探討，進而從教材中對函數單調性的兩種不同定義出發，對區間的幾種錯誤理解作了解釋說明，指出了區間具有連通性，對于區間的正確理解有助于理解函數單調性概念。
　　關鍵詞： 區間 函數單調性 連通集
　　
　　區間概念雖然簡單，但是很多人仍然對于區間概念存在錯誤的理解。本文從教材中對函數單調性的兩種不同定義出發，引出了人們對于區間的幾種錯誤理解，并指出了區間具有連通性。
　　一、區間的概念
　　區間是數軸上一種最常見的點集，它有三類：
　　1．閉區間［a，b］={x|a≤x≤b}，其中a，b是任意實數（下同）。
　　2．開區間（a，b）={x|a＜x＜b}，（a，+∞）={x|x＞a}，
　　（-∞，b）={x|x＜b}，（-∞，+∞）=R。
　　3.半開半閉區間（a，b］={x|a＜x≤b}，［a，b）={x|a≤x＜b}，
　　［a，+∞）={x|x≥a}，（-∞，b）={x|x≤b}。
　　其中a、b分別稱為相應的區間的左、右端點，區間中其它點稱為該區間的內點。上述各種區間中，［a，b］，（a，b），［a，b）和（a，b］又稱為有界區間或有限區間，其它的稱為無界區間或無限區間。特別的，對于a＞0，區間［-a，a］和（-a，a）稱為對稱區間。區間是數軸上的線段或射線或整個數軸。“開”（“閉”，“半開半閉”）是指不包含（包含，只包含一個）其端點。對于上述四種有限區間，b-a稱為該區間的長度，而無限區間的長度為+∞。
　　二、研究單調性引起的對于區間的爭議
　　中學階段，單調性是一個重要的概念，但目前兩種教材（人教版與北師大版）在單調性概念的定義上有一點細微差別。
　　第一種定義（人教版）：一般的，設函數y=f（x）的定義域為I，如果對于定義域內的某一區間D上的任意兩個自變量x，x，當x＜x時，都有f（x）＜f（x）（或f（x）＞f（x）），則稱函數y=f（x）在區間D上是增（減）函數。
　　第二種定義（北師大版）：一般的，對于函數y=f（x）的定義域內的一個子集A，如果對于任意兩數x，x∈A，當x＜x時，都有f（x）＜f（x）（或f（x）＞f（x）），則稱函數y=f（x）在數集A上是增加（減少）的；如果函數y=f（x）在定義域的某個子集上是增加（減少）的，那么就稱函數y=f（x）在這個子集上具有單調性。
　　比較上面兩個定義，可以發現第一種定義（人教版）局限于區間的單調性，第二種定義（北師大版）要比第一種定義（人教版）廣泛點。由于這兩種定義的差異，老師們產生了一些意見分歧：
　　吳有昌老師在《中學數學教學參考》（2008.4）中提出“一個問題的錯解”：函數f（x）=在（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數嗎？作者指出：（-∞，0）∪（0，+∞）根本不是一個區間，它顯然不滿足第一種定義（人教版）。接著，有兩位老師就此問題展開了對區間的爭論:見申祝平《（-∞，0）∪（0，+∞）是一個復合區間》（《中學數學教學參考》（2008.10））和唐光明《（-∞，0）∪（0，+∞）是一個不連通區間》（《中學數學教學參考》（2008.10））。以下就此問題作分析。
　　（1）（-∞，0）∪（0，+∞）是一個復合區間嗎？
　　申祝平老師這樣分析：（-∞，0）是一個區間（簡單區間），（0，+∞）也是一個區間（簡單區間），從而（-∞，0）∪（0，+∞）是一個區間，而且是一個復合區間。
　　這段推理過程看起來很有道理，但是我并不贊同。科學是嚴謹的，數學更應該用嚴格的態度來面對，我們不能簡單地用推理的方式去定義一個概念。數學應該是一門非常嚴謹的課程，目前并沒有所謂的“簡單區間”和“復合區間”之概念。
　　（2）（-∞，0）∪（0，+∞）是一個不連通區間嗎？
　　《數學百科全書》（第三卷）（科學出版社，1997.5）第150頁指出：“區間”即表示直線上的任意連通集。連通性是拓撲學中的一個概念。在拓撲學課程中，有如下定理：
　　定理：設E是實直線R的一個子集，則E是一個連通集當且僅當E是一個區間。
　　由上面的定理可以看出，區間等價于直線上的連通集。從而“（-∞，0）∪（0，+∞）是一個不連通區間”很顯然是自相矛盾的。
　　注：在廣泛意義下，實直線R上的單點集{a}，可以看作是一個區間［a，a］。
　　由此可以看出，一些老師對于區間的認識還不很深刻。
　　三、兩種定義下的單調性
　　先看兩個例子：
　　例1．f（x）=，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）
　　例2．g（x）=，x∈N
　　很顯然，函數f（x），g（x）定義域（-∞，0）∪（0，+∞）和N都不是區間，在第一種定義（人教版）前提下，我們不能研究f（x），g（x）在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）和N上的單調性，對于f（x），我們可以分別研究f（x）在區間（-∞，0）和（0，+∞）上的單調性。對于g（x），它的定義域由一些離散的點構成，不構成區間。所以在第一種定義（人教版）前提下，我們不能研究g（x）的單調性。但這明顯與我們的直覺不符。如果我們采用第二種定義（北師大版），這個問題就能解決了，在第二種定義（北師大版）前提下，我們可以研究f（x）在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上的單調性，也可以研究g（x）在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）和N上的單調性，此時，函數f（x）在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上是單調遞增函數，g（x）在定義域N上是單調遞減函數。
　　在前面的敘述中，我們對區間有了很深刻的認識，也知道了對待數學概念應有的態度。
　　可以說，區間是很簡單的概念，可是其中所包含的知識卻也不簡單。對區間的認識過程，也告誡我們，在認識數學概念的時候，一定要抱著科學嚴謹的態度，千萬不可以只用推斷、猜測、感覺去認識，所有的認識都一定要建立在科學的定義上。
　　
　　參考文獻：
　　［1］吳有昌.（-∞，0）∪（0，+∞）是一個區間嗎？［J］.中學數學教學參考（上半月.高中），2008，（4）.
　　［2］申祝平.（-∞，0）∪（0，+∞）是一個復合區間［J］.中學數學教學參考（上半月.高中），2008，（10）.
　　［3］唐光明.（-∞，0）∪（0，+∞）是一個不連通區間［J］.中學數學教學參考（上半月.高中），2008，（10）.
　　［4］錢佩玲主編.普通高中課程標準實驗教科書——數學必修1（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2004.
　　［5］嚴士健，李延林主編.普通高中課程標準實驗教科書——數學1［M］.北京：北京師范大學出版社，2007.
　　［6］熊金城.點集拓撲講義［M］.北京：高等教育出版社，2004.