如何走才使路線最短

　　摘 要： 本文按照特殊到一般的順序，先證明球面上過兩點的所有圓弧線中大圓弧線最短，然后證明對于球體上所有曲線仍然是過兩點間的大圓弧線最短。
　　關鍵詞： 球面距離 求導 最小值
　　
　　有這樣一個有趣的問題：在一個給定的球體上，有一只小蝸牛從棲息處到另外一個地方覓食，假如蝸牛勻速前進，請問這只蝸牛怎樣走才可以在最短時間內到達？這顯然涉及到一個非常重要而又不易理解的概念——球面距離，即是指球面上兩點間的最短連線的長度，也就是經過這兩點的大圓在這兩點間的長度。有的學生可能會問，為什么球體上兩點間的所有曲線中球面距離最短？
　　為了解釋清楚這個問題，本文按照由特殊到一般的邏輯順序，分兩個部分進行探討和證明。
　　首先，探討一種比較特殊的情況，即假設過兩點的曲線就是圓弧線。本文通過求導數來求最小值的方法，證明球面上過兩點的所有圓弧線中大圓線最短。
　　如上圖所示，設弦AB長為a，球O半徑為R。設圓O′為球面上過A、B兩點的任意圓，其半徑為r。設弧 ADB 長為S，角∠AO′B為θ，則S關于θ的函數為
　　S=rθ=，其中0＜θ＜π，其導數
　　S′=?=?＞0，
　　故S=在定義域內為增函數。又r=≤R，故當r=R時，θ取最小值，S也取最小值，即證明了球面上過兩點的所有圓弧線中大圓弧線最短。
　　接下來，有的學生會問：對于球體上所有曲線，還是過兩點間的大圓弧線最短嗎?
　　為了證明一般的情況，先給出曲面S：
　　r=r（u，v）上的曲線（C）：u=u（t），v=v（t）。
　　對于曲線（C）有
　　=r+r，或dt=rdu+rdv，
　　若以s表示曲面上曲線的弧長，則
　　ds=dr
　　=（rdu+rdv）
　　=rdu+2rrdudv+rdv
　　這個二次形式可以決定曲面上曲線的弧長。設曲線（C）上兩點A（t），B（t），則
　　s=dt=dt
　　然后建立球面曲線坐標：u=φ（經度），?諄=θ（緯度），-＜θ＜，0＜φ＜2π。如下圖所示，
　　球面的參數方程為：x=Rcosθcosφ，y=Rcosθsinφ，z=Rsinθ，其中R是球的半徑。
　　r={-Rcosθsinφ，Rcosθcosφ，0}
　　r={-Rsinθcosφ，-Rsinθsinφ，Rcosθ}，
　　由此得
　　r?r=Rcosθ，
　　r?r=0，
　　r?r=R，
　　因而ds=Rcosθdφ+Rdθ。
　　大圓上弧線AEB的方程為v=0，設A、B的坐標分別為（θ，0）和（θ，0）（θ＜θ），于是大圓弧線AEB的長為R（θ-θ）。
　　因為比較的是劣弧，所以選取的是球面上不含任何同一條直徑的兩個端點的小領域曲面片。在這個小領域內聯結A、B的任意曲線（C）設為v=v（u），于是沿曲線（C），由A到B的弧長為
　　s=dθ
　　=dθ≥Rdθ=R（θ-θ）
　　當且僅當φ′=0時上式中的等號成立，這時φ′=0，即φ=常數（u-曲線），這表示弧ADB與弧AEB重合。這樣就證明了球體上對于兩點間的所有曲線中球面距離最短。
　　
　　參考文獻：
　　［1］梅向明，黃敬之.微分幾何［M］.北京：高等教育出版社.