幾種計(jì)算微帶線特性阻抗的方法

　　摘 要： 本文從不同的計(jì)算思路和計(jì)算方法出發(fā)，介紹了幾種計(jì)算微帶線特性阻抗的方法，并對(duì)幾種方法的特點(diǎn)進(jìn)行了比較，為解決此類問(wèn)題提供了一些方法的選擇。
　　關(guān)鍵詞： 微帶線 特性阻抗 差分法 有限元法
　　
　　1.前言
　　微帶集成電路具有重量輕、體積小、頻帶寬、可靠性高、省電、低成本和長(zhǎng)壽命等優(yōu)點(diǎn)。在現(xiàn)代電子設(shè)備中得到廣泛應(yīng)用。微帶線作為微帶集成電路的主要部分，其設(shè)計(jì)和特性參數(shù)的計(jì)算受到廣泛關(guān)注［１］。在設(shè)計(jì)微帶器件時(shí)經(jīng)常遇到計(jì)算微帶線的特性阻抗的問(wèn)題，目前分析微帶線特性阻抗的方法很多，比如差分法、有限元法、保角變換法、格林函數(shù)法，等等［３］，本文以差分法和有限元法為基礎(chǔ)介紹幾種計(jì)算微帶線特性阻抗的方法。
　　2.基本原理
　　微帶線上傳播的電磁波可近似看成TEM波，于是它的特性阻抗就能用下面的公式計(jì)算：
　　Z==（1）
　　式中C、L分別為微帶線單位長(zhǎng)度的電容和電感，v為波在微帶線上的傳播速度。如假定微帶線上不存在介質(zhì)時(shí)單位長(zhǎng)度的電容為C，這時(shí)線的電感L將不會(huì)因?yàn)殡娊橘|(zhì)的存在與否而改變。又因介質(zhì)不存在時(shí)線上波的傳播速度為光速v，而且
　　v=（2）
　　由（2）式可解出L為：L= （3）
　　將L值代入（1）式即可求出微帶線的特性阻抗Z為：Z=
　　（4）
　　由（4）式可見，求微帶線特性阻抗的關(guān)鍵在于求出介質(zhì)存在和不存在時(shí)，微帶線上單位長(zhǎng)度的電容C和C。［３］根據(jù)計(jì)算思路，求這些電容的思路有：由微帶線上的電位分布求解；由微帶線單位長(zhǎng)度的總電量推導(dǎo)出；由儲(chǔ)藏在微帶線上電場(chǎng)內(nèi)的能量而推導(dǎo)出，等等。根據(jù)計(jì)算方法，求這些電容可以用差分法，也可以用有限元法。以下我就介紹幾種常用的方法。
　　3.幾種計(jì)算方法
　　①先用有限元法（FEM）求微帶線切面上的電位分布，再根據(jù)電位分布求出單位長(zhǎng)度的微帶線上的電容，進(jìn)而求出微帶線的特性阻抗。
　　假設(shè)微帶線介質(zhì)基片的厚度為h，相對(duì)介電常數(shù)為ε，導(dǎo)帶的寬度為W，厚度為t，微帶線的電位分布滿足拉普拉斯方程：+=0 u|=u（5）
　　其中L是場(chǎng)域s的邊界。
　　將場(chǎng)域s剖分為許多三角形單元，考慮場(chǎng)域s中任意一個(gè)單元e，假設(shè)其三個(gè)節(jié)點(diǎn)分別為i（x，y），j（x，y），m（x，y），如（圖一）所示；三個(gè)節(jié)點(diǎn)的電位分u別為u，u，u，則三角形單元e內(nèi)任意一點(diǎn)的電位u可以表示為三個(gè)節(jié)點(diǎn)電位值的線性插值，即：
　　u（x，y）=［N］［u］（6）
　　其中：［N］=［N，N，N］
　　（6）式中［N］是形狀函數(shù)，T表示矩陣的轉(zhuǎn)置，對(duì)于三角形單元，形狀函數(shù)［N］為：
　　N=（a+bx+cy）
　　N=（a+bx+cy）（7）
　　N=（a+bx+cy）
　　其中Δe為第e個(gè)三角形單元的面積，Δe=1 x y1 x y1 x y=（bc-bc）。
　　a=xy-xy，b=y-y，c=x-x;
　　a=xy-xy，b=y-y，c=x-x;
　　a=xy-xy，b=y-y，c=x-x;
　　對(duì)拉普拉斯方程進(jìn)行伽遼金有限元分析：在（5）式兩邊同時(shí)乘以［N］，并對(duì)三角形單元區(qū)域Δe進(jìn)行面積積分得：
　　［N］（+）dxdy=0（8）
　　對(duì)（8）式進(jìn)行部分積分，并將（6）式代入得：
　　（ ）+ ）［u］dxdy-［N］dL=0
　　（9）
　　（9）式左邊第二項(xiàng)積分是對(duì)三角形單元Δe的邊界L進(jìn)行的，n表示邊界的外法向。
　　（9）式是對(duì)區(qū)域s 中任意一個(gè)單元Δe進(jìn)行的，對(duì)于整個(gè)區(qū)域則應(yīng)對(duì)所有的單元疊加得到：
　　 + ）［u］dxdy-［N］dL=0（10）
　　對(duì)于方程式（10）左邊進(jìn)行第二次積分時(shí)要注意，要分清是內(nèi)單元還是邊界上的單元，對(duì)于內(nèi)部單元，由于相鄰兩個(gè)單元之間的平衡關(guān)系，各單元邊界積分值疊加為零，所以只有在整個(gè)求解域的外邊界L上，這一項(xiàng)才須計(jì)算，故（10）式可以寫成：
　　 + ）［u］dxdy-［N］［u］CdL=0（11）
　　其中表示對(duì)所有邊界上的單元求和。
　　（7）式代入（11）式，最后可得：［k］［u］=0（12）
　　其中［k］稱為三角形單元的總系數(shù)矩陣，解方程（12）即可以求得所需的電位值，進(jìn)而求得微帶線單位長(zhǎng)度電容，代入公式（4）即可求得微帶線的特性阻抗。［２］
　　②先用差分法求出單位長(zhǎng)度微帶線上的總電荷量Q，再根據(jù)C=求出微帶線的單位長(zhǎng)度電容，進(jìn)而求出微帶線的特性阻抗。
　　為求這個(gè)Q值，取一個(gè)如（圖二）所示的任意的包圍內(nèi)導(dǎo)體的環(huán)路abcd。這個(gè)環(huán)路的每個(gè)邊均通過(guò)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的中心并平行于坐標(biāo)軸，其中一個(gè)邊上任意點(diǎn)p處的電通量法向分量D 應(yīng)等于：
　　D=εE=-ε（13）
　　而D 可用p處相鄰的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)e、f處的電位u、u表示（如圖三），于是可得：
　　D=-ε=-ε（14）
　　取長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度并將D對(duì)整個(gè)面積積分，根據(jù)高斯定律，它應(yīng)等于內(nèi)導(dǎo)體表面上單位長(zhǎng)度的電荷Q，即
　　?蒽·dS=Q（15）
　　因?yàn)橐蟮氖庆o電電容，線內(nèi)電場(chǎng)將不隨z坐標(biāo)改變。在考慮到線上不存在縱向電場(chǎng)，也就沒(méi)有電通量穿過(guò)前后兩個(gè)面，這時(shí)上面的積分就可寫成：
　　設(shè)環(huán)路abcd的四邊每邊包括n個(gè)節(jié)點(diǎn)，m=1，2，3，4，而（16）式右邊的線積分可分成對(duì)四個(gè)邊的積分，再對(duì)每個(gè)邊的積分利用梯形數(shù)值積分法求積，便可得到求Q的公式：
　　Q=h′εε（）（17）
　　式中ε代表節(jié)點(diǎn)p處的相對(duì)介電常數(shù)，符號(hào)∑′表示和的第一項(xiàng)和第末項(xiàng)應(yīng)乘以。
　　如此便可求得電容C：C=（18）
　　根據(jù)（18）式，求出介質(zhì)存在和不存在時(shí)，微帶線上單位長(zhǎng)度的電容C和C，代入（4）式即可求出微帶線的特性阻抗。
　　③先用差分法（FDM）求出微帶線切面上的電位分布，根據(jù)電位分布求出電場(chǎng)分布，然后可以根據(jù)電場(chǎng)分布求出微帶線上單位長(zhǎng)度儲(chǔ)藏的電能W，由C=可求出微帶線的單位電容，進(jìn)而就可求出微帶線的特性阻抗。
　　求出微帶線上單位長(zhǎng)度儲(chǔ)藏的電能W后，要求的電容C可按下式得到（設(shè)線內(nèi)、外導(dǎo)體間電位差u為1V）：
　　C==2W=?蘩?蘩?蘩ε|E|dV=?蘩?蘩?蘩ε|E| dSdz
　　=?蘩?蘩ε|E|ds=?蘩?蘩ε（|E|+|E|）dS（19）
　　上式中利用了電場(chǎng)E不是z的函數(shù)關(guān)系，對(duì)S的面積分是在線的橫截面上進(jìn)行的。
　　先求S面上在如圖四所示的由四個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)（i，j），（i，j+1），（i+1，j），（i+1，j+1）形成的區(qū)域?qū)Γ?9）式積分的貢獻(xiàn)。在這個(gè)區(qū)域，E、E的值可用上述節(jié)點(diǎn)的電位差分求得：
　　E=-［+］=-［u-u+u-u］
　　（20）
　　E=-［+］=-［u-u+u-u］
　　（21）
　　如果令ΔW代表這個(gè)區(qū)域的電場(chǎng)儲(chǔ)能，則ΔW=εε（|E|+|E|）h（22）
　　將（20）、（21）式代入（22）式，即可得：
　　ΔW=［（u-u）+（u-u）］（23）
　　在整個(gè)區(qū)域內(nèi)儲(chǔ)藏的電能W就應(yīng)該是各個(gè)小區(qū)域儲(chǔ)能的和，即可以用下面的式子來(lái)表示：
　　W=ΔW（24）
　　其中i、j分別為場(chǎng)域中網(wǎng)格坐標(biāo)i、j的最大值。
　　將（24）式代入（19）式即可求得電容C，然后利用（4）式即可求出微帶線的特性主抗。［３］
　　4.結(jié)語(yǔ)
　　有限差分法是將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域，并以泰勒級(jí)數(shù)展開等方法，把方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。有限元法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在每個(gè)單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。差分法是電磁場(chǎng)計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法，是一種直接將微分問(wèn)題變?yōu)榇鷶?shù)問(wèn)題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡(jiǎn)單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。而有限元法用于電磁學(xué)領(lǐng)域還是二十世紀(jì)六七十年代的事情，它比較新穎。有限元法的優(yōu)點(diǎn)是適用于具有復(fù)雜邊界形狀或邊界條件、含有復(fù)雜媒質(zhì)的定解問(wèn)題。這種方法的各個(gè)環(huán)節(jié)可以實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化，得到通用的計(jì)算程序，而且有較高的計(jì)算精度。但是這種方法的計(jì)算程序復(fù)雜冗長(zhǎng)，由于他是區(qū)域性解法，分割的元素?cái)?shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)較多，導(dǎo)致需要的初始數(shù)據(jù)復(fù)雜繁多，最終得到的方程組的元數(shù)很大，這使得計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，而且對(duì)計(jì)算機(jī)本身的存儲(chǔ)也提出了要求。文中介紹的三種計(jì)算微帶線特性阻抗的方法各有特點(diǎn)，但其計(jì)算結(jié)果一致，在應(yīng)用中可根據(jù)需要選擇合適的方法。［３］［４］［５］
　　
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