高中數學中反證法的具體運用

　　摘 要： 反證法是高中數學中一種非常重要的證明方法，一般用于直接證明條件較少，關系不明確，問題形式較抽象，而其反面較具體、較容易入手的情況。本文作者以反證法為研究對象，通過歸納反證法的題型，以對此數學證明方法作了一個系統的研究。
　　關鍵詞： 高中數學 反證法 常見題型
　　
　　一、什么是反證法
　　反證法也稱作歸謬法，通常人們是這樣定義反證法的：“證明某個命題時，先假設它的結論的否定成立，然后從這個假設出發，根據命題的條件和已知的真命題，經過推理，得出與已知事實（條件、公理、定義、定理、法則、公式等）相矛盾的結果。從而證明了結論的否定不成立，間接地肯定了原命題的結論成立。這種方法就叫做反證法。”在使用反證法的時候，通常通過以下步驟：“否定結論→推導出矛盾→結論成立。”反證法適合一些正面證明比較困難，但是否定則比較淺顯的題目，在高中數學中使用得較為廣泛，在解決較難的問題的時候，反證法更能體現其優越性。
　　二、反證法解決的常見題型
　　反證法雖然簡單方便，但是任何方法的使用都有它成立的條件，都有它適用的范圍。如果超越了使用的范圍就會出現解題錯誤，解題方法也就不再適用，同樣，也就會影響解題的成功率。因此，我們應該學會正確使用反證法來解題。
　　1.否定性問題
　　例題1：如果a，b，c是不全相等的實數，且a，b，c成等差數列，求證：，，不成等差數列。
　　分析：因為題目所證的結論是一個否定性的結論，如果直接證明的話讓人有點無從下手，但是采用反證法就顯得容易多了。
　　證明：假設，，成等差數列，則=+=，
　　由于a，b，c成等差數利，因此2b=a+c①，那么，==，即b=ac②，由①②得出，a=b=c，與a，b，c是不全相等的實數矛盾。故，，不成等差數列。
　　點評：在數學學習中，如果出現以下幾種情況可以考慮使用反證法來解題：第一，題目是用否定形式敘述的；第二，題目選擇使用“至多”、“至少”等文字敘述的；第三，題目成立非常明顯，而直接證明時所用的理論較少，且不容易說明白的；第四，題目呈現唯一性命題特征；第五，如果題目的論證從正面較難入手證明，可以選擇使用反證法。
　　2.某些存在性命題
　　例題2：假設設x，y∈（0，1），求證:對于a，b∈R，必存在滿足條件的x、y，使|xy-ax-by|≥成立。
　　分析：本題主要是探索某些存在性問題，可以嘗試用反證法。
　　證明：假設對于一切x，y∈〔0，1〕使|xy-ax-by|＜恒成立，令x=0，y=1，則|b|＜令x=1，y=0，得|a|＜令x=y=1，得:|1-a-b|＜，但|1-a-b|≥1-|a|-|b|＞1--=產生矛盾，故欲證結論正確。
　　例題點評：在證明此類存在性命題的時候，使用反證法只要其中一個結論，就可以論證題目當中的結論的合理性，比直接證明省掉了一個證明的步驟，顯得更為簡單、明了。
　　3.結論為“至多”、“至少”的命題
　　雖然反證法是一種很積極的證明方法，用反證法證題還有很多優點：如適用范圍廣、思想選擇的余地大、推理方便等。但是并不是每一道題都能用反證法來解的。比如對以下兩個例題的分析。
　　例題3：若z，y均為正整數，且z+y>2．求證：＜2或＜2中至少有一個成立。
　　分析：一般而言，如果題目中出現“至少”或者“至多”的字眼，選擇使用反證法要簡單一些。
　　證明：假設≥2與≥2同時成立，因此，x＞0，y＞0，所以1+x≥2y，1+y≥2x。
　　將以上兩式相加得z+y≤2，這與已知條件z+y＞2矛盾，因此可以證明這個假設不成立。
　　因此，可以得出＜2或＜2中至少有一個成立。
　　例題4：如果對任何正數p，二次方程ax+bx+c+p=0的兩個根是正實數，則系數，試證之。
　　證明：假設a＞0，則二次函數y=ax+bx+c+p的圖像是開口向上的拋物線，顯然可見，當p增大時，拋物線就沿y軸向上平移，而當p值增大到相當大的正數時，拋物線就上開到與x軸沒有交點，則對這樣的一些p值，二次方程的實數根就不存在。因此，a＞0，這一假設與已知矛盾。
　　同理，a＜0，也不合題意。
　　綜上所述，當a＞0和a＜0時均不合題意。因此，a=0。
　　分析：看了本題的證明過程似乎很合理，但其實第三步，即肯定原結論成立的論證錯了。因為，本題的題設條件為對任意正數p，y=0有兩個正實數根，結論是a=0，但本題的題設條件與結論是矛盾的。
　　當a=0時，二次方程就變成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0時，對于任何正數p，它只有一個根；在b=0時，僅當p=-c＞0的條件下，它有無數個根，否則無根，但總之不會有兩個根。題設條件和結論矛盾。
　　因此，本題不能用反證法來處理。
　　但是，如果原題改為“如果對于任何正數，只存在正實根，則系數”，就能用反證法證明了。
　　點評：通過分析例題3、例題4，可以得出對于下列命題，較適用反證法來解決：
　　第一，對于結論是否定形式的命題；
　　第二，對于結論是以“至多”，“至少”或“無限”的形式出現的命題；
　　第三，對于結論是以“唯一”或“必然”的形式出現的命題；
　　第四，對于可利用的公理定理較少或者較以與已知條件相溝通的命題。
　　三、結論
　　牛頓曾說：“反證法是數學家最精當的武器之一。”反證法之所以有效是因為它對結論的否定實際上增加了論證的條件，這對發現正確的解題思路是有幫助的。對于具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。在現代數學中，反證法已成為最常用和最有效的解決問題的方法之一。
　　
　　參考文獻：
　　［1］趙杰.反證法——化難為易的法寶.中學生數理化（高二版），2010，（3）.
　　［2］何玲，劉玲瓏.高中數學解題方法初探.科海故事博覽·科教創新，2009，（11）.
　　［3］路從條.“反證法”思想在中學教學中的運用.福建教育學院學報，2003，（3）.