高階導(dǎo)數(shù)公式及拉格朗日中值定理的推廣

　　摘 要： 本文給出了在一點處高階導(dǎo)數(shù)定義的一般形式，并介紹了將拉格朗日中值定理推廣到高階導(dǎo)數(shù)的情形。
　　關(guān)鍵詞： 高階導(dǎo)數(shù)公式 拉格朗日中值定理 推廣
　　
　　在微積分中，函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量和自變量增量比的極限，拉格朗日中值定理用一階導(dǎo)數(shù)給出了函數(shù)增量和自變量增量之間的關(guān)系．但在一點的高階導(dǎo)數(shù)并沒有給出定義式，同樣，拉格朗日中值定理也沒有討論高階導(dǎo)數(shù)情形．本文將探討關(guān)于高階導(dǎo)數(shù)的一些結(jié)論．
　　在同濟版《高等數(shù)學》教材中，有這樣一個習題：
　　設(shè)f（x）存在，則f（x）=．
　　利用洛必達法則及一階導(dǎo)數(shù)定義，很容易證明．下面將上述結(jié)論推廣到一般情形，我們有結(jié)論：考慮上式中的分子
　　（-1）Cf［x+（m-k）h］-（-1）Cf［x+（m-k-1）h］
　　=Cf（x+mh）-Cf［x+（m-1）h］-Cf［x+（m-1）h］+Cf［x+（m-2）h］+…+（-1）Cf（x）-（-1）Cf（x-h）.
　　由于C+C，則：
　　（-1）Cf［x+（m-k）h］-（-1）Cf［x+（m-k-1）h］
　　=Cf（x+mh）-Cf［x+（m-1）h］+Cf［x+（m-2）h］+…+（-1）Cf（x）-（-1）Cf（x-h）
　　=Cf（x+mh）-Cf［x+（m-1）h］+Cf［x+（m-2）h］+…+（-1）Cf（x）+（-1）Cf（x-h）
　　=（-1）Cf［x+（m+1-k-1）h］
　　即當n=m+1時公式也成立，從而定理1得證．
　　下面我們把拉格朗日中值定理推廣到高階導(dǎo)數(shù)．
　　定理2：設(shè)f（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，則存在ξ∈（a，b），使
　　f（ξ）=f（b）-2f+f（a）
　　證：令φ（x）=fx+-f（x），則：
　　φ-φ（a）=f（b）-2f+f（a）
　　由拉格朗日中值定理，存在ξ∈（a，b），使
　　φ-φ（a）=φ′（ξ）-a=φ（ξ），ξ∈a，即f（b）-2f+f（a）=f′ξ+-f′（ξ）
　　=f（ξ）··=f（ξ）
　　其中ξ在ξ+與ξ之間，則ξ∈（a，b）．
　　從而有：f（ξ）=f（b）-2f+f（a），ξ∈（a，b）．
　　定理3：設(shè)f（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)有n階導(dǎo)數(shù)，則存在ξ∈（a，b），使
　　f（ξ）=（-1）Cf
　　證：用數(shù)學歸納法
　　當n=1時，即是拉格朗日中值定理．
　　當n=2時，即是定理2．
　　假設(shè)n=m時成立，即：
　　f（ξ）=（-1）Cf.
　　令φ（x）=f（x+t）-f（x），其中t=．
　　由假設(shè)，存在ξ∈（a，b-t），使
　　φ（ξ）=（-1）Cφ
　　將t=代入并化簡得：
　　φ（ξ）=（-1）Cφ
　　由拉格朗日中值定理，
　　φ（ξ）=f（ξ+t）-f（ξ）=f（ξ）t＝f（ξ）·
　　其中ξ在ξ+t與ξ之間，則ξ∈（a，b）
　　則f（ξ）=（-1）Cφ
　　又（-1）Cφ
　　=（-1）Cf+-f
　　=（-1）Cf-f
　　=Cf（b）-Cf-Cf+Cf+…+（-1）Cf-（-1）Cf（a）
　　=Cf（b）-Cf+Cf+…+（-1）Cf+（-1）Cf（a）
　　=（-1）Cf
　　從而f（ξ）=（-1）Cf
　　即n=m+1時結(jié)論也成立，從而定理3成立．
　　
　　參考文獻：
　　［1］同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（第六版）高等教育出版社，2007.
　　［2］王昆揚.簡明數(shù)學分析.高等教育出版社，2001.
　　［3］裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法.高等教育出版社，1993.
　　［4］數(shù)學手冊.高等教育出版社，1977.