實施數(shù)學實

　　摘 要： 數(shù)學實驗是一種思維實驗和操作實驗相結(jié)合的實驗，多媒體技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)為其提供了有效的手段。本文結(jié)合高中數(shù)學新課程實踐，分析了開展數(shù)學實驗的一般教學過程和具體操作，并且探討了數(shù)學實驗的有關(guān)注意事項，闡述了運用數(shù)學實驗有效實施過程教學，培養(yǎng)學生數(shù)學能力的問題。
　　關(guān)鍵詞： 數(shù)學實驗 過程教學 能力培養(yǎng)
　　
　　數(shù)學實驗是指根據(jù)研究目標，在計算機和軟件的幫助下，創(chuàng)設(shè)或改變某種數(shù)學情境，在某種條件下，通過思考和操作活動，研究數(shù)學現(xiàn)象的本質(zhì)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的過程。這樣就拋開繁瑣、乏味的計算過程，讓學生將有限的精力集中于問題的數(shù)學化，較快地掌握其中的數(shù)學思想、方法和幾何背景；它讓學生主動探索數(shù)學的規(guī)律，了解數(shù)學理論產(chǎn)生的過程和基礎(chǔ)。能夠提高學生的學習興趣，加深對數(shù)學知識的理解。數(shù)學實驗通?？煞譃閮深悾阂活愂且詣邮植僮鳛橹鞯姆Q之為操作性實驗，它主要是運用實物、學具、模型、數(shù)學媒體等器材和設(shè)備，讓學生進行操作、試驗、探索、討論，增強對所學知識的感性認識，得出初步結(jié)論。另一類是以動腦思考為主的稱之為思考性實驗，它不需要那么多操作性的工具，在動手的同時，更需要動腦思考，對所學的數(shù)學知識或處理的數(shù)學問題不斷進行嘗試調(diào)整、歸納猜想、反思總結(jié)，探索問題的結(jié)論（當然還必須通過嚴密的邏輯論證說明結(jié)論的正確性）。高中數(shù)學新課程注重過程教學，強調(diào)落實三維課程目標，恰當運用數(shù)學實驗可以彰顯數(shù)學學習過程，提高學生的數(shù)學綜合能力。
　　一、數(shù)學實驗的一般教學過程和教學方法
　　數(shù)學實驗教學過程同物理實驗、化學實驗類似，一般地可分為六個階段：
　　1.課前預習——實驗前派發(fā)實驗報告表，要求學生事前了解實驗的目標和預習實驗所需的必備知識；
　　2.實驗設(shè)計——學生針對問題，設(shè)計并實施一定的實驗步驟，清晰地表達問題、體驗問題和理解問題；
　　3.觀察、分析與思考——學生觀察實驗過程、分析實驗結(jié)果和思考問題的結(jié)論；
　　4.發(fā)現(xiàn)或猜想——抽象、概括形成概念或提出假設(shè)、猜想；
　　5.適當性檢驗——在新的情境中檢驗所形成的觀念或猜想的適當性和普遍性；
　　6.完成實驗報告——填寫好實驗報告和完成后附的練習題。
　　二、運用數(shù)學實驗，彰顯學習過程
　　1.運用實驗形成數(shù)學概念，培養(yǎng)學生的探究能力。
　　許多概念或知識都來源于生活生產(chǎn)實踐，因此數(shù)學教學應以經(jīng)驗為基礎(chǔ)的，引導學生從現(xiàn)實經(jīng)驗中抽象出數(shù)學的概念和結(jié)構(gòu)，然后將得到的經(jīng)驗歸納整理成一個有意義的整體，繼而產(chǎn)生頓悟、理解，逐步形成新的概念或新的知識。教師可以積極引導學生運用相關(guān)實物、幾何模型等器材，大膽地去操作、試驗、探討，使數(shù)學的學習成為一種主動的探究過程。
　　例如：學習“球面距離”這一概念，盡管在學習“球面距離”之前，我們已經(jīng)掌握了有關(guān)點、線、面之間的距離概念，但它們對學習“球面距離”幫助不大。球面上任意兩點，是不是經(jīng)過該兩點的大圓劣弧的長最短呢?許多學生對其最小性問題心存疑問，根據(jù)學生的實際情況，用微積分知識進行論證顯然是不現(xiàn)實的，若借助實驗手段則能直觀簡潔地給予說明。
　　例1.如圖1，分別以O(shè)i（i=1、2、3…）為圓心，作過點A、B的劣?。ɑ虬雸A），易得隨著半徑的增大，其弧長越短，并逐漸趨近于線段AB的長，即兩點的弧長中，以較大半徑的圓所在的弧長較短.利用這一生動直觀的實驗展開探索，使學生對“球面距離”的概念，以及它的最小性有了一個感性上較為明確的認識，同時也增強了學生主動探索問題的能力.
　　2.借助實驗驗證結(jié)論，展現(xiàn)探索問題的思路和方法。
　　例2.設(shè)A（x，y）為橢圓x+2y=2上的任意一點，過點A作一條斜率為-的直線l，又設(shè)d為原點至直線l的距離，r、r分別為點A到橢圓兩焦點的距離.試證明：=常數(shù).
　　略解：設(shè)過點A的直線l的方程為y-y=-（x-x）
　　即xx+2yy=x+2y
　　∵x+2y=2，∴xx+2yy=2
　　d==
　　r=（x+1）+y，r=（x-1）+y
　　∴rr=（x-4）
　　∴=（定值）
　　提出問題：在變化的圖形中為什么保持數(shù)量關(guān)系恒等不變?
　　學生對此缺乏感性認識，即便畫出靜態(tài)圖（往往是不正確的），也難以發(fā)現(xiàn)蘊含在其中的幾何原理.
　　引入“幾何畫板”輔助教學：師生在網(wǎng)絡(luò)教室一起打開課件（如圖2），推測與橢圓相切.
　　驗證：構(gòu)造動畫使點A沿橢圓運動，這時學生真正看到了隨點A運動時，一直保持和橢圓相切.“測算”距離r、r、d，學生清晰觀察到點A運動時，r、r、d的值被不斷刷新，然而恒為定值.
　　從以上的實驗教學過程中，在師生的共同探究下，展現(xiàn)出了探索問題的思路和方法。在教學中，學生對學習活動的積極參與，營造了問題解決與協(xié)作學習的良好的思維情境和氛圍。因此印象也特別深刻，同時也有助于理解數(shù)學知識的實質(zhì)及合情推理與論證推理能力的培養(yǎng)。由學生自己動手，用他們熟悉的、喜歡“玩”的計算機解決幾個經(jīng)過簡化的實際問題，讓學生親身感受到用所學的數(shù)學解決實際問題的酸甜苦辣。在培養(yǎng)學生獨立解決問題的同時，激發(fā)他們進一步學好數(shù)學的愿望，促成教學的良性循環(huán)。
　　3.運用數(shù)學實驗，大膽探索科學規(guī)律。
　　生活中的許多定理、法則、性質(zhì)、公式等結(jié)論都是在實驗探索的基礎(chǔ)上概括提煉出來的。在數(shù)學教學中，我們教師如能發(fā)掘?qū)W習內(nèi)容，引導學生用眼去觀察，動手去實驗，用腦去思考，主動去探索，像一個小數(shù)學家那樣去提出問題、分析問題、解決問題，從而再現(xiàn)（模擬）數(shù)學結(jié)論、數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程，那樣不僅使學習生動有趣，而且能促使學生較深刻地領(lǐng)悟數(shù)學結(jié)論、數(shù)學規(guī)律的真正內(nèi)涵，促進學生的數(shù)學素質(zhì)得到不斷提高。新課程提倡教師把教學的重點放在過程中，放在揭示知識形成的規(guī)律上，讓學生自己動手實驗，自己去發(fā)現(xiàn)數(shù)學原理，這樣得出的結(jié)論就會理解深刻，容易記牢。新課程也大力提倡學科之間的有機整合，提升學生綜合素養(yǎng)。因此我們不妨繼續(xù)對例2進行深化拓展，運用數(shù)學實驗把數(shù)學與物理有機整合起來，運用數(shù)學方法來發(fā)現(xiàn)物理規(guī)律。
　　探索：“測算”AF和AF與l所成角的大小，并列展示在平臺上，提示學生注意兩角關(guān)系，當點A再次運動時，發(fā)現(xiàn)這兩角保持相等.說明AF和AF存在反射關(guān)系.為了方便進行實驗，過A作l的垂線（法線）l′并標記鏡面，構(gòu)造點F關(guān)于l′的對點F′，結(jié)果看到點F′在射線AF上.
　　結(jié)論：（橢圓鏡面的光學性質(zhì)）——焦點發(fā)出的光線經(jīng)橢圓面鏡反射會聚另一焦點.
　　再探索：例題中橢圓x+2y=2改為雙曲線x-2y=2，結(jié)論還會成立嗎?重復以上操作，學生驚奇地發(fā)現(xiàn)結(jié)論是如此相似，還是雙曲線的切線，依然是定值.
　　同樣得出這樣一個光學特性：一焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線面鏡反射，反射光線延長線會聚另一焦點。
　　應用：上面從數(shù)學動態(tài)模擬中探索出隱含在其中的物理光學特征，反過來，我們?yōu)槭裁床荒軓氖煜さ奈锢憩F(xiàn)象里抽象出數(shù)學本質(zhì)呢?
　　探照燈原理：從焦點出發(fā)的光線經(jīng)拋物面鏡反射后以平行于其對稱軸的方向射出。
　　數(shù)學發(fā)現(xiàn)應用：從拋物線上一點出發(fā)的兩條射線，一條經(jīng)過焦點，另一條（位于拋物線內(nèi)部）平行于對稱軸，則這個角的平分線所在直線必定與該點的拋物線的切線垂直。
　　另外教學中還可以啟發(fā)學生給出常數(shù)的幾何意義，歸納出過圓錐曲線上一點的切線的畫法。
　　總結(jié)：從上面的過程看，經(jīng)歷實踐—認識—再實踐—再認識的過程，使學生自覺、主動、深層次地參與到教學活動之中，在利用“幾何畫板”探索幾何奧秘的過程中，數(shù)形結(jié)合使人恍然大悟，發(fā)現(xiàn)規(guī)律讓人欣喜莫名，數(shù)理綜合更叫人耳目一新，師生們從內(nèi)心的創(chuàng)造和體驗中領(lǐng)悟到數(shù)字的真諦。這將極大地調(diào)動學生的學習積極性，優(yōu)化教學環(huán)境，對提高教育教學質(zhì)量、提高學生的數(shù)學能力都有著積極的促進作用。
　　
　　4.運用實驗解決數(shù)學問題，增強學生學習的主體性。
　　建構(gòu)主義認為，學習是一種建構(gòu)，或者說是重新構(gòu)造的活動，所以數(shù)學的教學核心不是由教師向?qū)W生灌輸或“販賣”知識，而應該是學生的“再創(chuàng)造”，也就是根據(jù)自己的體驗并用自己的思維方式去創(chuàng)造出有關(guān)的數(shù)學知識，既然學習是學生的“再創(chuàng)造”，那么數(shù)學實驗教學就應該以學生為主體。教師通過創(chuàng)設(shè)情境，充分調(diào)動學生的積極性、主動性和創(chuàng)造性，使全體學生積極、主動地參與到數(shù)學實驗教學過程中來，達到掌握知識，發(fā)展能力，學會創(chuàng)新，促使學生的主體性得到發(fā)展和完善。比如在解決數(shù)學問題時，常規(guī)的思考方法是由條件到結(jié)論的定向思維，但有些問題按照這樣的思維方式求解，往往打不開思維，形成不了思路，借助于數(shù)學實驗手段對問題進行探究，能幫助我們越過或繞過問題的障礙，克服思維上的困難，逐步形成解決問題的新思路、新途徑。
　　例3.已知數(shù)列{a}中，a＞0（n∈N），它的前n項之和為S，若S，S，S…，S是一個首項為3，公差為1的等差數(shù)列，試比較S與3na（n∈N）的大小.
　　分析：可求得S=，
　　a=（n=1）-（n≥2）
　　n=1時，S-3na=-2S＜0，∴S＜3na
　　n≥2時，S-3na=-3n（-）
　　=3n-（3n-1）（1）
　　含有根號，常規(guī)變形無法展開，無法判斷上式符號，則大小關(guān)系也就無法確定，必須另求它策，不妨通過數(shù)學實驗進行探索。
　　探索1：（1）中n是自然數(shù)，啟發(fā)學生思考：與自然數(shù)有關(guān)的問題，一般采用何種方法解決？使學生聯(lián)想歸納法并使用計算器進行試驗，發(fā)現(xiàn)：
　　當n=2，3時，S-3na＞0；
　　當n=4，5，6時，S-3na＜0.
　　猜想：當n≥4時，3n-（3n-1）＜0.
　　探索2：引導學生思考（1）中的符號情況（或大于0或小于0），利用綜合分析嘗試：假設(shè)3n-（3n-1）＞0，則3n＞（3n-1），兩邊平方得9n（n+1）＞（3n-1）（n+2），從而有-3n+11n-2＞0，得n=2或3時，式（1）大于0；n≥4時，式（1）小于0，問題可獲解.
　　探索1運用的是操作性實驗，探索2運用的是思考性實驗，在上述借助于數(shù)學實驗解決問題的過程中，通過創(chuàng)設(shè)條件實施平方、使用計算器探索規(guī)律等手段，并利用綜合分析或歸納猜想，使學生親身經(jīng)歷了動手操作、思考分析、探究問題的全過程，從而激活了思維，促進了探索能力的提高。
　　三、運用數(shù)學實驗的注意事項
　　1.恰當運用數(shù)學實驗，切忌濫用。
　　新課程倡導學生動手實踐、自主探索，于是有的教師幾乎每節(jié)課都要安排學生動手“實驗”一番，就連大多數(shù)學生一看便知的較易的內(nèi)容也要動手操作，美其名曰“自主發(fā)現(xiàn)”……似乎唯有這樣才能體現(xiàn)新課程的理念，其實這種理解是片面的，大量的教學實踐也證明，這樣的實驗是無效的、失敗的。我們可以運用數(shù)學實驗，創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學生數(shù)學學習的動機。我們可以運用數(shù)學實驗，展現(xiàn)知識的形成過程。我們可以運用數(shù)學實驗，提高學生的思維層次，即通過創(chuàng)設(shè)情境，引導學生熟悉要研究的問題，通過實驗活動和應用，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，通過學生的大膽猜想和小心求證，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。通過討論和交流，展示思維過程，鼓勵學生從多角度、多層面去思考問題，培養(yǎng)思維的廣闊性；鼓勵學生進行聯(lián)想，培養(yǎng)思維的靈活性；鼓勵變式引伸，培養(yǎng)思維的深刻性，把培養(yǎng)學生的多種思維能力滲透在數(shù)學實驗教學中，從而使學生的思維層次得到提高。
　　2.始終重視數(shù)學本質(zhì)的教學，突出“數(shù)學味”。
　　在新課程的教學中，有些教師只注重了學生的活動和實驗，而忽視了“數(shù)學化”的過程，不注重對數(shù)學思想和數(shù)學本質(zhì)的揭示，其教學設(shè)計仍趨向于一種“結(jié)果型”的模式。我們開展數(shù)學實驗，以“做”為載體，幫助學生架起思維和建構(gòu)的平臺，在“做”中思維，“做”中發(fā)現(xiàn)，使學生體驗數(shù)學的過程，在探索知識過程和實踐過程中，實現(xiàn)新課程提出的三個維度的教學目標。
　　3.教師要提出明確而適度的期望和要求。
　　研究表明，學生學習失效的原因之一在于學習缺乏目的性、方向性，因而造成學習的盲目性和無效感。因此，在進行數(shù)學實驗活動之前提出具體的目標和實驗內(nèi)容的意義、價值，對學生具有動機作用。盡管提出的問題是開放的，給學生的思維空間很大，但學生的努力目標和方向又是具體的，是學生經(jīng)過努力可以達到的，這樣學生就會積極主動地操縱計算機，充分發(fā)揮他們的想象力與創(chuàng)造力，認真地通過實驗去解決問題。
　　4.教師給予學生清楚而及時的反饋信息。
　　在數(shù)學實驗教學中，教師要不斷鼓勵學生，及時使用肯定評價語言，對看起來很荒謬，但確有新意的猜想，也要及時給予肯定，對于那些思考問題還不成熟的學生，只要參與，教師都應給予鼓勵，并把他們的參與同集體解決問題的成功聯(lián)系起來。為鼓勵學生積極參與實驗，教師也要注意肯定性評價語言的選擇和及時使用，即使學生在實驗中遇阻，教師也要注意使評價語言便于學生接受，使學生能從中受到鼓舞，使學生的學習欲望和自信心不斷增強。尤其是“歸納或猜想”一定要由學生自己得到，如果學生得不到教學預期的效果，教師應進一步引導學生再次實驗，再次觀察和分析，直到獲得成功。如果到下課時間，學生還未獲得預期的發(fā)現(xiàn)，教師可以指出要注意的事項，讓學生課后或在家里繼續(xù)進行實驗（作為作業(yè)），直到獲得發(fā)現(xiàn)為止。
　　總之，數(shù)學實驗具有直觀性、操作性、反復性、探索性等特點，在數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程中，在數(shù)學問題的解決過程中，恰當運用數(shù)學實驗，可以使學生直接地觀測、親自動手操作、深入思考分析、反復探索，從而彰顯學習過程，突破學習難點，突出學習重點，切實提高學生的探究能力。
　　
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　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”