如何在數學教學中真正“用教材教”

　　摘 要： 在教學實踐中，教師該如何真正落實“用教材教”呢？本文就從四個方面來探討一下：一題多解，思維發散，培養思維的敏捷性與靈活性；縱向延伸，揭露本質，培養思維的深刻性；橫向拓展，問題類化，培養思維的批判性；通性通法，直達高考，培養思維的創造性。
　　關鍵詞： 高中數學教學 一題多解 縱向延伸 橫向拓展 通性通法
　　
　　《課程標準》是國家規定的教學綱領性文件，教材是支撐課標規定教學任務的載體，“用教材教”是新課程背景下普通高中教學的主流要求?！坝媒滩慕獭钡那疤岜仨毸伎?、挖掘教材內容的教育價值，本文以人教A版《數學?選修4－4》中的一道例題為案例，挖掘其教育價值，切身體驗“用教材教”的深刻內涵。
　　題目：如圖，O是直角坐標原點，A，B是拋物線y=2px（p＞0）上異于頂點的兩動點，且OA⊥OB，OM⊥AB，并與AB相交于點M，①求點M的軌跡方程。
　　1.一題多解，思維發散，培養思維的敏捷性與靈活性。
　　解法1：本題可在已經學習了拋物線的參數方程基礎上，用參數方程來求動點M的軌跡方程。
　　分析：解法１利用了拋物線的參數方程，設出A、B兩點的坐標，再利用題中三個獨立的已知條件建立三個方程，再聯立方程消參，便可得到所求的軌跡方程。
　　解法2：解法1建立三個方程，再聯立方程消參，其實，可以進一步想想，是否有其他解法，因此引出如下解法：通過設出直線AB的方程（斜截式）及端點參數，再利用韋達定理，運用設而不求的思想求解，體現了同性通法，使我們更能清楚地看出問題的本質特點。
　　解法３：解法２設出的參數太多，利用的關系也較多，以下設參數的方法能使解答更為簡潔。只設定一個參數便可求解，方法更簡潔，體現了數學美的特點，但消參較繁瑣。
　　比較上述幾種解法，我們發現第一種方法參數不多，消參也比較簡潔，相比另外兩種方法更好。但通過一題多解，使學生思維得到發散，能夠更好培養學生思維的敏捷性與靈活性。
　　2.縱向延伸，揭露本質，培養思維的深刻性。
　　本題以拋物線為載體，研究了坐標原點在弦AB上的射影的軌跡方程，下面我們繼續解決以下幾個問題：
　?、谇笙褹B中點的軌跡方程；
　?、矍笕切蜛BC面積的最小值；
　　④探究+是否為定值。
　　分析：基本上可以沿用第一題的思想方法，圓滿地完成②的解答。
　　③可以借助參數將面積表示出來，參數選用了不同的方式，可見利用參數思想解題是多么重要。
　?、芸山柚鷺O坐標來表示出+：
　　設A（ρ，θ），B（ρ，θ±），由y=2px?圯ρsinθ=2pρcosθ?圯=
　　∴+=+=+=（-3）
　　結果顯然不是定值。
　　分析：利用極坐標方程簡潔表示了+，值得我們推廣和借鑒。
　　由此我們可看到一個題目可通過縱向進行延伸，揭露其本質，培養學生思維的深刻性。
　　3.橫向拓展，問題類化，培養思維的批判性
　　以上我們以拋物線為載體研究了四個方面的問題：
　?、偾簏cM的軌跡方程；
　?、谇笙褹B中點的軌跡方程；
　?、矍笕切蜛BC面積的最小值；
　　④探究+是否為定值。
　　可以將這些問題放到我們橢圓和雙曲線中來研究。
　　可以以④為例，在橢圓和雙曲線中+為定值。
　　進行此類橫向拓展，將問題類化，能培養學生思維的批判性。
　　4.通性通法，直達高考，培養思維的創造性。
　　在高中，參數思想解題往往受到高考命題專家的青睞，高考中多次出現這方面的試題，而且一般是中檔以上的試題，甚至出現壓軸題。而只要心中有“法”，以不變應萬變，就能輕松解決高考出現的同類試題。如曾在天津高考試卷中出現的最后一題：
　　（天津卷22題）設橢圓+=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F、F，A是橢圓上的一點，AF⊥FF，原點O到直線AF的距離為|OF|，
　?。á瘢┳C明：a=b；
　　（Ⅱ）設Q，Q為橢圓上的兩個動點，OQ⊥OQ，過原點O作直線QQ的垂線OD，垂直為D，求D的軌跡方程。
　　本題（Ⅰ）問運用常規方法求解，題目不難，學生一般都能做出來。（Ⅱ）問實際上是書本上那個例題的變式，按照我們所研究的方法就可以做出來。
　　5.小結
　　本次探究表明一個數學題目常有多種解法，或橫、縱方向能進行拓展，或與其他題目有某種共性，目前課改教材中此類題目占有相當大的比例，因此，教師應該“用教材教，而不是教教材”，引領學生科學地補充教材，準確地加工教材，讓教材成為學生積極發展的廣闊天地，讓教材成為學生與社會生活聯系的紐帶，充分運用教材實施課程資源的開發。
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”