談談數學應用意識的培養

　　摘 要： 本文通過生動的例子將生活中的數學問題引入課堂，利用數學構建的模式將實際問題轉換成解應用題的途徑來加以解決。這樣一來既可以使學生在輕松愉快的解題過程中鞏固所學的知識，又可以培養學生將所學知識用于實際的好習慣，即數學應用意識的培養。本文還指出數學應用意識形成的最終標準是學生能夠自覺、主動、創造性地運用數學知識解決實際問題，這才是培養數學應用意識的本質，也是數學教育的本質和出發點，更是提高國民素質的途徑之一。
　　關鍵詞： 數學課堂教學 數學應用意識 數學模型
　　現如今，全國上下都在大力提倡培養學生的數學應用意識。最近，我有幸拜讀了大量關于在數學課堂上提供應用題從而培養學生的數學應用意識的文章。其中，我印象最深刻的就是季素月老師給出一個案例［４］：在一條河一側的B地倉庫著火了，住在與倉庫同側的A地居民馬上拿著水桶到河邊提水奔向B地救火，請作出居民救火的最佳途徑。題目一出，學生就紛紛給出答案，而且答案驚人一致：作出B點關于河邊的對稱點B′，連結AB′，與河邊交于C點，則由A經由C再到B是居民救火的最佳路線。老師問道：“你們的答案真的都是這么一致嗎？有沒有同學還有其它想法？”這句話說過之后，伴隨的是教室的一片寂靜，學生的思維在高速地運轉著。果然，一只手慢慢地舉了起來，剛開始這名學生比較靦腆，而且還沒多大信心，老師就鼓勵他，學生受了鼓舞，將自己的想法說了出來。他說：居民提著空水桶可以跑得更快點，而水桶里盛滿水后就不那么好提了，所以我覺得BC這段應該更短些。剛才還一片寂靜的課堂一下子就炸開了，學生的思維也被激活了，各種討論聲、爭辯聲四處都是。有學生問：老師，我們書上的數學應用題的答案是不是錯誤的？也有學生問：老師，這道題現在沒有答案那我們怎么辦？甚至有學生問：老師，要是地直接到河邊沒有路怎么辦？……
　　當然，對這些問題，這位老師沒有直接給予答案。美籍匈牙利的數學家和數學教育家喬治波利亞對教師提出的十誡之一就是：不要立即透露你的秘密——讓你的學生在你說出來之前先去猜，盡量讓他們自己去找出來。
　　這個案例給了我很多啟示，生活中的數學問題與我們書上的數學問題有很大關聯，卻又不盡相同。一方面，我們要明白書本上的數學問題是從實際生活中的數學問題中做適當簡單化，抽象出來的。另一方面，我們在運用所學的數學知識和技能解決實際問題時，要考慮實際的情況，要進行創造性的應用［1］。
　　為了使我們對利用應用題培養學生的數學應用意識有更深刻的理解，我再借用香港中文大學黃家鳴先生的一篇文章中所給出的一個實例。在黃先生坐下來寫他的那篇文章前，他與十位同事在教師餐廳共進午餐，與通常一樣，午餐的費用由用餐者共同負擔，最終送來的帳單是483元，也像往常一樣，大多數人坐在那里等待計算，而某個人則已拿出了兩個20元的鈔票并主動地承擔起了這一責任。每個人付40元就是440元，再付4元就足以應付剩下的43元，從而44元就是所求的解答，而最終以支票付帳的人則可以少付1元錢。另外，大家也同意沒有零錢的人可以隨意地付45元或50元。這樣，一個算術問題就以普遍滿意的方式獲得了解決。
　　上述情境顯然是十分常見的。但是，如果這并非是在現實環境中發生的一個實際問題，學生通常會通過仔細的計算給出如下的答案：483÷11=43元。而且，盡管在現實生活中無法給出元，但無論是學生還是教師都會對上述的解答感到十分的滿意，甚至根本不會去考慮這一解答在現實中是否真正可行，因為后一問題被認為是與學校中的數學解題活動完全無關的。
　　從利用應用題來培養學生的數學應用意識的角度來看，上述兩個例子給予我們什么啟示呢？
　　一、學生數學應用意識淡薄
　　我們的學生（甚至包括大學生）數學應用意識淡薄，上述兩個例子也很好地說明了這一點。但是我查閱了很多的文獻資料，大多數是只談怎樣培養學生的數學應用意識，卻很少去涉及究竟是什么原因造就了學生數學應用意識的淡薄。實際上這種做法是黑白顛倒、本末倒置的。那么，根據上述兩個例子，我們是否可以得出以下結論：課堂上的數學內容嚴重脫離實際造就了學生數學應用意識的淡薄。答案應該是肯定的，這是經過理性的思考得出的，當然，最終還要依賴于我們更深入地調查研究。我并不認為課堂上的數學內容嚴重脫離實際是學生數學應用意識淡薄的唯一原因，與此相反的是我們必須從整個教育環節上去考慮這一問題，而不是僅從某一環節、某一角度去考慮［2］。
　　二、生活中的數學問題引入課堂
　　傳統的數學課程的嚴重缺陷就是把數學設計成一套嚴密抽象的演繹體系。但是無論如何你都不能否認數學在社會中扮演的角色，應該知道從過去、現在一直到將來，教數學的老師不可能浮在空中，而學數學的學生也必然是屬于社會的。正如夸美紐斯所說：“人們學習的每一件事都應該是充滿著聯系的。”數學也是具有豐富聯系的，在強調數學內部聯系的同時，還必須重視數學跟外界的聯系。我們強調的是聯系學生親生經歷的現實，而不是生造的虛假的現實，那是作為應用的例子人為制造的。但是，目前我們的數學教育糟糕的是內部聯系的得到（是否真的得到也未可知）卻犧牲了外部聯系。所以我們的數學教師面臨的首要問題是：如何把生活中的數學問題引入到我們的課堂？在這里，弗賴登塔爾給我們提供了一個很好的方法，他認為類比是建立數學內部與外部聯系的一個極為有效的手段，因為通過對象之間的類比，可以由一個解釋另一個，從而使學生產生興趣，使人信服，并能形成抽象的想象能力［3］。但是不管我們的教師怎樣把生活中的數學問題經過改造后引入課堂，我們的教師必須明白的是：學生學習哪些數學似乎是無關緊要的，只要它充滿著聯系。因為只有聯系的，才是最具活力的［3］。
　　三、多做應用題，培養數學應用意識
　　應用題在課堂上的出現，在某種程度上可以說滿足了社會、家長和教師的部分需要，即希望學生學習的是有用的數學。甚至有人對初高中教材的應用題所占的比例進行統計，發現應用題比例明顯偏低，從而得出結論：我們應該大力加強應用題的教學。毋庸置疑，這有積極的一面，即應用題為學生數學應用意識和能力的培養創造了很好的條件。但我們不能就此輕意地得出下面的結論：讓學生多做應用題就能培養起學生的數學應用意識。在這里我暫不討論目前課堂上的應用題的好壞，就像上述案例給我們的啟示那樣，能否真正培養起學生數學應用意識，關鍵是看教師依托應用題進行施教的整個過程。要是應用題只教給學生熟練的技能，同時教給學生大量的應用模式和一些特殊的記憶方法，那是一種愚蠢的教學方法，這樣做只是為了應付考試，根本不可能培養起學生的數學應用意識。實際上，這樣做反倒更加有害，即會使學生牢固樹立起這樣一種錯誤觀念：所謂數學應用，就是多做應用題；如果你不會應用數學，那是因為你應用題做得太少。所以，我們很自然地可以得出以下結論：學生數學應用意識的培養主要涉及的并非是教學中是否依托應用題，而是教學思想的重要改變，即強調教學過程的開放性，徹底改變學生在學習過程中的被動狀態，促使其更為積極、主動地進行探索［4］。為了更好地培養學生的數學應用意識，我們提出了建立數學模型的方法。數學模型方法，是把實際問題加以抽象概括，建立相應的數學模型，利用這些模型來研究實際問題的一般數學方法。什么叫數學模型呢？簡單地說，數學模型就是把實際問題用數學語言抽象概括，再從數學角度來反映或近似地反映實際問題時，所得出的關于實際問題的數學描述。數學模型的形式是多樣的，它們可以是幾何圖形，也可以是方程式，函數解析式，等等。實際問題越復雜，相應的數學模型也就越復雜。怎樣用數學模型方法解決實際問題呢？其實，意大利科學家伽利略在研究自由落體的過程時，就采用了建立數學模型的方法。我們生活的周圍世界，變化無處不在。例如：一個人從出生到成長，我國人口的增長，飛機在空中飛行的路線，地球繞著太陽的運動，一桶水變成冰塊過程中溫度的變化，威脅我們生存的全球變暖過程，等等。這些變化著的現象中，常常含有變化著的量，以及各種數量關系，通常可以通過建立數學模型進行有效的研究。例如，變化范圍（定義域），變化趨勢（增長或減少），變化速率（增長或減少的快慢），等等，并且由此還能比較精確地預測將要發生的變化。
　　
　　四、喧鬧的課堂有助于數學應用意識的培養
　　“精神需要精神的陶冶，人格需要人格的塑造”，我們是否也可以提出“意識需要意識的熏陶”呢？答案是肯定的。正像斯賓塞說的那樣：“對待兒童沒有同情，他們就變得沒有同情，而以應有的友情對待他們就是一個培養他們友情的手段。”教師要培養起學生的數學應用意識，自己也必須具備一定的數學應用意識。很難想象在一個根本不知道數學有什么用處的教師的教育下，學生數學應用意識如何的強烈、能力如何的高明。數學應用意識是潛伏在學生的頭腦中的，它當然需要那種“隨風潛入夜，潤物細無聲”的潛移默化的教育。但是除了靜悄悄地進行外，特別在課堂這一層面上，我們是否更應該提倡“轟轟烈烈”的氣氛呢？也就是說，“喧鬧”的課堂是否更有助于學生數學應用意識的培養呢？當然，這里談到的喧鬧的課堂，并不是指課堂的毫無秩序，而是指學生圍繞著某一問題展開激烈的爭辯，學生沒有好壞之分，有的只是思維的自由翱翔，從第一個案例看并結合當前相對沉悶的課堂實際，我們更期望擁有這份喧鬧的課堂來喚醒學生。
　　五、數學應用意識形成的最終標準
　　數學應用意識強調的是學生能自覺、主動地應用數學解決現實生活中的問題。它的側重點在于學生的自覺性和主動性，指的是一種精神狀態，屬于觀念、意識的范疇。也就是說它是隱性狀態的數學，也正是因為隱性的，所以對學生數學應用意識是否真正形成我們很難有一個度量指標。但是，假如我們的學生能夠創造性地運用數學解決實際問題，那么該行為或過程能否為學生形成數學應用意識提供最有價值的根據呢？再進一步說，那是不是數學應用意識形成的最終標準呢？當然，所謂創造性地運用數學解決實際問題包括兩方面的內容：一方面，能從實際問題中發現數學信息，另一方面，能創造性地運用數學解決含有數學信息的問題，在這里需要著重指出的是，創造性并不要求學生具有高超的數學技巧，主要是看運用數學后得出的結果是不是更接近現實。結合上述兩個例子，也許會對創造性這個概念有更好的理解，遺憾的是我們的教學更多地強調學生的數學技巧，卻不怎么考慮結果在實際生活中能否行得通。實際上，暫且不討論數學應用意識形成的最終標準是不是學生能夠創造性地運用數學解決實際問題，但也為我們教師開辟了以下這一視角：學生在課堂上所提出解決問題的數量與質量，是學生應用意識是否形成的最重要的參考指標。例如，小明外婆送來一籃雞蛋，這只籃子最多只能裝55只左右的雞蛋，小明3只一數，結果剩下1只，但忘了數多少次，只好重數。他5只一數，結果剩2只，可又忘了數多少次。他準備再數時，媽媽笑著說：“不用數了，共有52只。”小明驚訝地問媽媽是怎么知道的，媽媽笑而未答，讓小明好好動動腦筋。其實，對于這個問題我們可以建立數學模型，運用方程的知識來解決。再如，某保險公司銷售一年期的人壽保險給20歲的投保人，保險額10萬元，保險費為120元，由過去的資料知，20歲的投保人能活到21歲的概率是，求這家公司的期望利潤。對于這個問題，我們可以建立數學模型，利用概率的知識解決。
　　總之，我們應該深刻地理解數學應用意識培養的目的、手段和標準，為提升我國國民整體素質進而增強綜合國力打好堅實的基礎。
　　
　　參考文獻：
　　［1］鄭毓信，梁貫成.認知科學建構主義與數學教育.上海：上海教育出版社，1999.
　　［2］鄭毓信.數學教育：從理論到實踐.上海：上海教育出版社，2000.
　　［3］陳昌平，唐瑞芬.作為教育任務的數學.上海：上海教育出版社，2001.
　　［4］季素月.創新意識的培養與數學學習環境的重建.數學教育學報，2000，4，53.
　　［5］姜啟源.數學模型.高等教育出版社，1999.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”