深化數學例題教

　　摘 要： 課堂是教師傳授知識的主陣地，也是數學教學培養學生思維能力的重要任務，課堂教學中例題的設計，可以加深學生對基礎知識、概念的理解和掌握，使學生從感性認識階段上升至理性認識階段。教師通過關鍵題示，及時點撥解題思路，經過長期的訓練，可培養學生良好的思維能力。
　　關鍵詞： 初中數學 例題教學 思維能力
　　
　　例題是數學課堂教學過程中極其重要的一環，它對以堂課的成敗起著橋梁和杠桿作用。例題教學不僅可以讓學生在掌握舊知識的基礎上構建新的認知結構，而且能加深新知識的理解，還能啟迪學生的思維、培養學生的思維，這在邏輯性很強的例題教學中顯得尤為重要。尤其是對例題的教學方面，要充分發揮例題教學的作用，并著眼于培養學生的創新意識，讓學生掌握學習的主動權，激發求知欲望，提高課堂教學的效益。通過例題的教學，調動學生積極思維，提高學生的學習效率。依我之見，例題教學應從以下幾方面入手。
　　一、舉例，引出概念，公式，引導學生發現新知識的能力
　　數學中的有些概念，往往難以直觀表述。如近似數、準確數等，但它們與舊知識都有內在聯系。我就充分運用舉例來引出新概念。在備課時要分析這個新概念有哪些舊知識與它有內在的聯系。利用學生已掌握的舊知識講授新概念，學生是容易接受的。例如我講同底數冪的乘法，就從冪的意義引入，邊板書、邊提問：以下這些算式是什么意思？
　　數學概念對學生來講是抽象、難懂的，也是數學教師在教學中遇到的比較棘手的問題。然而，全面、透徹地理解概念又是非常重要的，它是學生學習數學知識的基礎和正確解題的關鍵所在。因此，為了適應快速掌握的要求，應設計具有前后知識的連續性的例題，這樣學生能節省學習的時間，提高了課堂的效率。另外，根據奧蘇?伯爾的同化理論可知，用舊知識促成新知識的學習總是比較容易的，例題的引入能促進學生對數學概念的全面掌握。
　　二、選擇題，填空題的設計，加深對新知識理解和掌握
　　選擇題、填空題主要考查學生對基礎知識的理解，基本技能的熟練程度、基本計算的準確性、基本方法的運用、考查問題的嚴謹、解題速度的快捷等方面，教完新知識后，為了讓學生領悟新知識或矯正學習中存在的某些缺陷與障礙，而應當選擇一些有針對性的選擇題、填空題進行練習，已達到突出重點、突破難點之功效。
　　在學習了圓周角這節課時，當概念教學結束后，可以安排下面的選擇題。
　　下列圖形中，∠BAC是圓周角的圖形是（ ）
　　則后可以出下列填空題，以加深學生對法則的理解。
　　通過設計以上的選擇題和填空題，考查學生對教學內容的理解和對新知識的掌握情況。
　　三、注意例題的一題多解或例題的變式，培養解題思維能力
　　“例題千萬道，解后拋九霄”難以達到提高解題能力、發展思維的目的。善于作解題后的反思、方法的歸類、規律的小結和技巧的揣摩，再進一步作一題多變，一題多問，一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴大例題的輻射面，無疑對能力的提高和思維的發展是大有裨益的。
　　例如：（原例題）已知等腰三角形的腰長是4，底長為6，求周長．我們可以將此例題進行一題多變．
　　變式1：已知等腰三角形一腰長為4，周長為14，求底邊長．（這是考查逆向思維能力）
　　變式2：已知等腰三角形一邊長為4，另一邊長為6，求周長．（與前兩題相比，需要改變思維策略，進行分類討論）
　　變式3：已知等腰三角形的一邊長為3，另一邊長為6，求周長．（顯然“3只能為底”否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，這有利于培養學生思維嚴密性）
　　變式4：已知等腰三角形的腰長為x，求底邊長y的取值范圍．
　　變式5：已知等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，周長是14．請先寫出二者的函數關系式，再在平面直角坐標內畫出二者的圖像．（與前面相比，要求又提高了，特別是對條件0＜y＜2x的理解運用，是完成此問的關鍵）
　　通過例題的層層變式，學生對三邊關系定理的認識又深了一步，有利于培養學生從特殊到一般、從具體到抽象地分析問題、解決問題；通過例題解法多變的教學則有利于幫助學生打破思維定勢；使學生的直覺思維和發散思維得到綜合訓練，更有利于培養思維的變通性和靈活性。
　　四、通過綜合性例題，解釋知識間的縱橫聯系，提高解題能力
　　讓學生應用已經理解的公理、定理、公式、概念、數學方法和知識去解決一些復雜的綜合練習題，教師在組織綜合練習時要有明確的目的，要精選題目，使其具有典型性、代表性、綜合性。
　　例如在學習二次函數后，為了使學生理解二次函數與一元二次方程、一元二次不等式間的聯系，特設計一道綜合題：
　　已知函線y=x-3x-4，
　　（1）求此函數圖像的開口方向，對稱軸，頂點坐標，并畫出圖像.
　　（2）求圖像與x軸y軸的交點坐標，并求出以這三點為頂點的三角形的面積.
　　（3）x為何值時，有y＞0，y＜0，y=0？
　　（4）當x?搖 ?搖?搖?搖時，y的值隨著x的值增大而增大；當x?搖 ?搖?搖?搖時，y的值隨著x的值增大而減小.
　　（5）求函數圖像向左平移3個單位，再向上平移2個單位后，所得的圖像的函數解析式。這道綜合題由幾個不同類型的基礎題組成，通過對它的解決學生可以舉一反三，觸類旁通，使知識間的縱橫聯系得到體現，課堂容量增大，且減輕了學生的課業負擔，教學效果顯著。
　　五、有目的列舉反例，以鞏固和深化概念
　　所謂數學反例即指否定的數學例證，是為了防止或否定學生對于數學知識的錯誤認識而列舉的一些數學事例。它是數學課堂上的“調節器”。運用數學反例對學生的智力活動能起定向糾錯、提煉升華的作用，并維持數學課堂教學按既定的路線進行。數學概念的教學，不僅要運用正面的例子加以深刻闡明，而且要通過合適的反例，從另一個側面抓住概念的本質，使學生對所學概念進一步反思，從而達到深刻理解和掌握該概念的目的。學生在解題中經常出現差錯且不易發現、糾正。對此，可以引入反例，讓學生學習、討論，幫助他們發現問題，分析錯誤原因，找出正確的解題方法。學生在學習一個新的定理、性質時，往往會忽略定理、性質中的關鍵詞語，從而造成解題的錯誤。為了克服這一現象，教學中要善于構造反例，幫助學生牢記關鍵詞語，達到正確理解并掌握定理、性質的目的。
　　例如，垂徑定理的推論1“平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦”，學生常會忽略括號中的限制條件，誤記為“平分弦的直徑垂直于弦”。教學時可以構造反例，列舉圓中任意兩條直徑，雖然它們互相平分，但不一定互相垂直，由此來糾正這一錯誤認識，可加深學生對限制條件的理解。又如在教學“三角形全等的判定定理”時，學生在掌握基本的幾個判定定理（SSS，SAS，ASA，AAS）后，教師可讓學生判斷:三個角對應全等的三角形是否全等;有兩邊及其其中一邊所對的角對應相等的兩個三角形是否全等。三角對應相等的三角形全等的反例比較容易列舉，例如三角板中的兩個三角形。但是有兩邊及其其中一邊所對的角對應相等的兩個三角形全等的反例卻較難構建。為了解決這個問題，教師可以先固定某些邊或者某些角對應相等以后再讓學生構建反例。可以先固定∠A=∠A′，AC=A′C′，在此基礎上引導學生進一步思考：若BC=B′C′=a，說明BC或B′C′。可以通過以下作圖方法來畫出:以C或者C′為圓心，a為半徑畫弧，a只要滿足一定的條件，此時所畫的弧就很可能與AB或者A′B′所在的直線有兩個交點，這時再構造不全等的三角形就容易多了。從而說明有兩邊及其其中一邊所對的角對應相等的兩個三角形全等不能成立。利用反例教學，可使學生加深對知識的理解和記憶，從而達到掌握知識、培養能力的要求。
　　精煉的例題蘊藏著豐富的數學知識、方法和思想，有利于學生去領悟、吸收、深化和探索。因此，深化例題教學發揮例題的功效，是教學的關鍵。例題教學可培養學生數學能力和良好的思維素質，從而讓學生對數學的認識有一個質的飛躍。
　　
　　參考文獻：
　　［1］陳國新.例題教學中的四點“反思”.中國教育研究論叢，2006，（00）.
　　［2］方鎮軍.挖掘例題的教學功能，培養學生的創新思維能力.數理化解題指導研究.
　　注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”