軸對(duì)稱思想在最短路線問(wèn)題上的應(yīng)用

　　摘 要： 數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，服務(wù)于生活，只有把數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)際緊密結(jié)合在一起，才能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的奧秘，才能更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。本文探索了如何應(yīng)用軸對(duì)稱思想解決最短路線問(wèn)題。
　　關(guān)鍵詞： 軸對(duì)稱思想 最短路線問(wèn)題 應(yīng)用方法
　　
　　學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了以下三個(gè)知識(shí)點(diǎn)：一、兩點(diǎn)之間線段最短；二、軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；三、線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。那么，如何能充分理解和掌握，并靈活運(yùn)用？我想只有和實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，學(xué)以致用，激發(fā)興趣，才能提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
　　例1.要在河邊l修建一個(gè)水泵站，分別向A、B兩村送水，水泵站應(yīng)修建在河邊的什么地方，可使所用的水管最短？
　　分析：要解決這個(gè)問(wèn)題，找出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，聯(lián)結(jié)A′B交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是到A、B兩村莊的距離之和最短的點(diǎn)的位置.
　　理由：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知PA′=PA
　　所以PA+PB=PA′+PB=BA′
　　如果另外任選一點(diǎn)P（異于P），聯(lián)結(jié)PA、PB、PA′，則有PA=PA′
　　在△PBA′中，PA′+PB＞BA′=PA′+PB=PA+PB
　　即PA+PB＞PA+PB
　　因此，PA+PB為最短.
　　由此可見(jiàn)，軸對(duì)稱幫我們找到了符合要求的點(diǎn)的位置。
　　該問(wèn)題的解決為我們提供了一種解題的思路和線索，觸類旁通，由此產(chǎn)生了一系列問(wèn)題的解題思路。當(dāng)然本題如果作B點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)也可。
　　例2.解決實(shí)際問(wèn)題（通過(guò)學(xué)生感興趣的實(shí)際問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)激情）。
　　打臺(tái)球時(shí)，如圖，要求把1號(hào)球打進(jìn)右上底袋，請(qǐng)問(wèn)如何打，路線是什么？
　　分析：要想把1號(hào)球打進(jìn)右上底袋，只有反彈球，而反彈球的關(guān)鍵是找反彈點(diǎn)，如何找反彈點(diǎn)，自然就會(huì)運(yùn)用到軸對(duì)稱知識(shí)。
　　如圖，找黃球的對(duì)稱點(diǎn)，或找右上底袋的對(duì)稱點(diǎn)都可找到反彈點(diǎn)P。
　　以上是作一次對(duì)稱點(diǎn)就可以解決問(wèn)題，然而有些實(shí)際問(wèn)題還需要作兩次對(duì)稱點(diǎn)才能解決。
　　例3.如圖：∠AOB=45°角內(nèi)有一點(diǎn)P，PO=10，兩邊上各有點(diǎn)Q，R（不同O），求△PQR的周長(zhǎng)最小值.
　　作P點(diǎn)關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P′、P″，聯(lián)結(jié)P′P″交OA、OB分別于點(diǎn)Q、R.PQ+QR+RP最短.
　　即PQ+QR+RP=P′P″===10
　　通過(guò)以上知識(shí)的學(xué)習(xí)我們發(fā)現(xiàn)找最短路線的兩種辦法：一、兩個(gè)點(diǎn)一條線時(shí)，作任意一點(diǎn)關(guān)于這條線的對(duì)稱點(diǎn)，再與另一點(diǎn)連線即可找出最短路線的點(diǎn)；二、兩個(gè)點(diǎn)兩條線時(shí)，分別作兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于兩條線的對(duì)稱點(diǎn)，再連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，找到兩個(gè)交點(diǎn)為最短路線的兩個(gè)點(diǎn)。
　　注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”