關于中間值問題的綜述

　　摘 要： 本文首先回顧了中間值問題的演變過程，其次簡要介紹了中間值問題在歷年考研及數學競賽中的地位和作用及其重要意義，最后分別從《微積分》和《泛函分析》的角度來敘述中間值問題的重要作用。
　　關鍵詞： 中間值問題 微分 積分 不動點
　　
　　一、中間值問題的簡介
　　人們對微分中值定理的認識可以上溯到公元前古希臘時代。古希臘數學家在幾何研究中，得到如下結論：“過拋物線弓形的頂點的切線必平行于拋物線弓形的底”，把弓形的底看作軸，弓形的兩端點都在軸上，即兩端點的函數值等于零，這正是羅爾定理的特殊情況。希臘著名數學家Archimedes正是巧妙地利用這一結論，求出了拋物弓形的面積。1635年，意大利Cavalieri在《不可分量幾何學》的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理，其中引理3基于幾何的觀點也敘述了同樣一個事實：曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦。這是幾何形式的微分中值定理，被人們稱為卡瓦列里定理。人們對微分中值定理的研究，從微積分建立之始就開始了。1637年，著名法國數學家Fermat在《求最大值和最小值的方法》中給出費馬定理，在教科書中，人們通常將它稱為費馬定理。1691年，法國數學家Rolle在《方程的解法》一文中給出多項式形式的羅爾定理。1797年，法國數學家拉格朗日在《解析函數論》一書中給出拉格朗日定理，并給出最初的證明。對微分中值定理進行系統研究的是法國數學家Cauchy，他是數學分析嚴格化運動的推動者，他的三部巨著《分析教程》、《無窮小計算教程概論》、《微分計算教程》，以嚴格化為其主要目標，對微積分理論進行了重構。他首先賦予中值定理以重要作用，使其成為微分學的核心定理。在《無窮小計算教程概論》中，柯西首先嚴格地證明了拉格朗日定理，又在《微分計算教程》中將其推廣為廣義中值定理——柯西定理，從而發現了最后一個微分中值定理。
　　另外，在歷年的數學考研和數學競賽中，中間值問題一直都是一個重要的考點。在數學專業的考研試題和數學競賽中主要表現為利用介值定理估計函數在某一點的值，以及證明根的存在性，利用微分中值定理特別是拉格朗日中值定理證明存在性等，而在非數學專業的考研試題中主要表現為在選擇題中利用介值定理或羅爾定理判斷根的存在區間及證明根的存在性等。
　　二、中間值問題的應用
　　1.從《微積分》的角度來看中間值問題
　　《微積分》主要研究初等函數的連續性、可微性及可導性，而介值定理和微分中值定理分別是連續性、可微性的重要定理，因此中間值問題是微積分所要研究的重要問題之一，它主要表現為連續函數的介值、微分中值和積分中值這三種形式，其中微分中值是《微積分》的重點也是難點，另外它在《微積分》有關許多重要定理的證明中起著推導作用。例如，羅比達法則的證明中就用到了微分中值定理中的柯西中值定理。
　　2.從《泛函分析》的角度來看中間值問題
　　例：設A=［0，1］，f（x）是［0，1］上的一個可微函數，滿足條件：f（x）∈［0，1］且|f′（x）|≤α＜1（?坌x∈［0，1］），則存在唯一x′∈［0，1］使得f（x′）=x′。
　　下證唯一性：假設另存在x″∈［0，1］使得x″=f（x″），則有
　　|x′-x″|=|f（x′）-f（x″）|≤α|x′-x″|
　　由α＜1可知x′=x″。故存在唯一的x′∈［0，1］使得f（x′）=x′。
　　由于［0，1］是一個完備的距離空間，且例1中的一個壓縮映射，這就啟發我們思考：例題的結論能否推廣到一般的完備距離空間上去？答案是肯定的。事實上，若T：（?掊，ρ）→（?掊，ρ）是一個壓縮映射，任取x∈?掊，
　　參考文獻：
　　［1］李文林.數學史教程.高等教育出版社，2008，8，（1）.
　　［2］梅向明，黃敬之.微分幾何.高等教育出版社，2003-12-01，（3）.
　　［3］趙樹嫄.微積分.中國人民大學出版社，2007.
　　［4］王振鵬.泛函分析.吉林大學出版社，1990.
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