數學解題中常用的幾種思想方法

　　摘 要： 本文通過例題解析形式，闡述了在中學數學解題中常用的數形結合、整體性、分類討論、類比聯想、逆向思維、化歸轉化和構造性等七種思想方法。
　　關鍵詞： 中學數學 數學思想方法 例題解析
　　
　　數學思想是指人的意識對現實世界的空間形式和數量關系進行思維活動而產生的結果，它是對數學事實與數學理論的本質認識.數學方法是指以數學為工具進行科學研究的方法.數學思想與數學方法是數學知識的核心和靈魂，是學生獲得數學能力必不可少的組成部分.本文結合部分例題介紹了幾種基本的數學思想方法.
　　1.數形結合的思想方法
　　數形結合思想是指將數（量）與（圖）形結合起來進行分析、研究、解決問題的一種思維策略.著名數學家華羅庚先生說：“數與形本是相倚依，怎能分作兩邊飛，數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休.”這充分說明了數形結合思想在數學研究和數學應用中的重要性.
　　2.整體的思想方法
　　整體思想就是考慮問題時，不是著眼于它的局部特征，而是把注意點和著眼點放在問題的整體結構上，通過對其全面深刻的觀察和分析，從宏觀整體上把握問題實質，把一些彼此獨立但又緊密聯系著的量作為整體來處理的思想方法.整體思想在處理數學問題中有著廣泛的應用.
　　例1：若x+x-5=0，求代數式2x+2x-9的值.
　　分析：如果是先通過解一元二次方程x+x-5=0求得x的值，然后再代入2x+2x-9從而求出代數式的值，顯然方程的解有兩個，且都為無理數，因此在代入的時候要分情況討論，而且計算也容易出錯.但是當我們把x+x看成一個整體時，這題就變得非常簡單了.
　　解：因為x+x-5=0，所以x+x=5，所以2x+2x-9=2（x+x）-9=2×5-9=10-9=1.
　　3.分類討論的思想方法
　　教材中進行分類的實例比較多，分類教學不僅可以使學生明確分類的重要性：一是使有關的概念系統化、完整化；二是使被分概念的外延更清楚、更深刻、更具體；還能使學生掌握分數的要點方法.教材中進行分類的實例比較多，這里就不再累述.
　　4.類比聯想的思想方法
　　數學教學在考慮某些問題時常根據事物間的相似點提出假設或猜想，從而把已知事物的屬性推廣到與之相似的新的事物中去，促進發現新結論.例如數學題中只要是要求在已知××上找一點，使這點到已知兩點的距離和最小，我們的思路都是：找對稱點，把問題轉化為兩點之間線段最短的問題.
　　5.逆向思維的思想方法
　　逆向思維就是把問題倒過來或從問題的反面思考或逆用某些數學公式、法則解決問題.
　　例2：有10個不同的球，其中4個為紅球，6個為白球，若取一個紅球記2分，取一個白球記1分.現從這10個球中取出4個，使總分不低于6分的取法有多少種?
　　解：若使取球4個，只能是取得4個球中至少有2個是紅球，所以可以考慮先看問題的反面.由“取出4個球中至少有2個是紅球”的否定事件是：一、沒有一個是紅球，全是白球，取法有C種；二、有一個是紅球，三個是白球，取法有CC種.
　　所以使總分不低于6分的取法有C-C-C14C=105種.
　　6.化歸轉化的思想方法
　　化歸是指在解決問題的過程中，對問題進行轉化，使之成為簡單、熟知問題的基本解題模式，它是使一種數學對象在一定條件下轉化為另一種數學對象的思想方法.我個人認為這種思想和類比的思想是孿生兄弟.
　　7.構造性的思想方法
　　構造性的思想方法就是運用數學中的概念和方法構造出適當的數學模型從而達到解題的目的.這種思想方法在我們用數學知識解決實際問題時常用，或許說必用更客觀.
　　例4：某中學要印刷本校高中錄取通知書，有兩個印刷廠前來聯系制作業務.甲廠優惠條件是每份定價1.5元，八折收費，另收900元制版費；乙廠的收費條件是每份定價1.5元的價格不變，而制版費900元則六折優惠，且甲、乙都規定，一次印刷數量至少是500份，如何根據印數數量選擇比較合算的方案？若印刷數量為2000份，應選擇哪個？費用是多少？
　　解：設印刷份數是x份，收費為y元，依題意得
　　y=1.2x+900，x≥500且為整數.
　　y=1.5x+900，x≥500且為整數.
　　若y＞y，即1.2x+900＞1.5x+900，解得500≤x＜1200.
　　若y=y，解得x=1200.
　　若y＜y，解得x＞1200.
　　所以當500≤x＜1200時，選擇乙廠，當x＞1200時選擇甲廠，當x=1200時，兩廠費用相同，費用為3300元.
　　本文主要介紹了七種常用的數學解題的思想方法，并相應給出一些例題加以說明.最后我要強調的是：學有法，但學無定法，貴在得法，重在創造.
　　
　　參考文獻：
　　［1］寧春芳.初中數學思想方法例舉［J］.山西教育（半月刊），2004.02：34-35.
　　［2］賈元紅.分類討論思想的應用［J］.山西教育（高中理科版），2005.06：12-13.
　　［3］達正香.中學數學建模教學研究［J］.甘肅科技縱橫，2006，VOL35，（6）：228.
　　［4］沈濤.化歸思想及解題策略［J］.四川教育學院學報，2003.08：46-48.
　　［5］陳祥平.化歸原則與數學分析教學［J］.青海師專學報，2000，（6）：43-45.
　　［6］婁國久，趙崗.高等數學教學中的逆向思維［J］.山東教育學院學報，2007，（6）：36-38.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文