走近“數(shù)感”

　　摘 要： 義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育要面向全體學(xué)生，數(shù)學(xué)教育的目的在于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).大多數(shù)學(xué)生將來(lái)不會(huì)成為數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)工作者，但每一個(gè)學(xué)生都應(yīng)建立一定的數(shù)感，這對(duì)他們將來(lái)的生活和工作都是有價(jià)值的。中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，目的就在于使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方法理解和解釋現(xiàn)實(shí)問題。
　　關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)感 數(shù)學(xué)素養(yǎng) 創(chuàng)新能力 實(shí)踐能力
　　
　　美術(shù)有“美感”，音樂有“樂感”，語(yǔ)文、英語(yǔ)有“語(yǔ)感”，數(shù)學(xué)要有“數(shù)感”.所謂數(shù)感，狹義地講，是指學(xué)生對(duì)數(shù)的敏感性.它是對(duì)數(shù)與運(yùn)算的一般理解，這種理解可以幫助人們用靈活的方法作出數(shù)學(xué)判斷和為理解復(fù)雜的問題提出有效的策略.廣義地講，數(shù)感既指學(xué)生對(duì)數(shù)值的一種直覺，對(duì)數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)、公理等數(shù)學(xué)概念的直接反映；又指學(xué)生在實(shí)際情境中對(duì)數(shù)和運(yùn)算概念的感悟和理解，以及運(yùn)用這些知識(shí)的意識(shí).
　　調(diào)查表明，我國(guó)學(xué)生學(xué)習(xí)具有較強(qiáng)的自我封閉性，普遍注重“純粹”技能技巧的訓(xùn)練和題型練習(xí)，脫離社會(huì)生活實(shí)際，即使一些數(shù)學(xué)技能掌握較好的學(xué)生面對(duì)一些現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)問題也常常感到困難.所以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，樹立應(yīng)用意識(shí)，形成能夠解決日常生活工作中的數(shù)學(xué)問題的能力，并通過(guò)這一應(yīng)用過(guò)程學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看社會(huì)，從而形成正確的數(shù)學(xué)態(tài)度，顯得尤其重要.
　　新頒發(fā)的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，第一次明確地把“數(shù)感”作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容提出來(lái)，這是前所未有的.新課標(biāo)中有六個(gè)核心概念，它們是：數(shù)感、符號(hào)感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念、應(yīng)用意識(shí)、推理能力.“數(shù)感”擺在首要的位置，可見讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中建立數(shù)感，是新課標(biāo)十分強(qiáng)調(diào)和重視的問題.那么“數(shù)感”的重要性體現(xiàn)在哪些方面呢？
　　一、數(shù)感的建立是提高每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志
　　義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育要為每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展著想，適應(yīng)每一個(gè)人的需要.作為公民素養(yǎng)之一，數(shù)學(xué)素養(yǎng)不只是用計(jì)算能力的高低和解決書本問題能力的大小來(lái)衡量的.學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問題，用數(shù)學(xué)的方法理解和解釋實(shí)際問題，能從現(xiàn)實(shí)的情境中看出數(shù)學(xué)問題，這是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志.一個(gè)小學(xué)或初中畢業(yè)生，學(xué)習(xí)了那么多的數(shù)學(xué)知識(shí)，但不會(huì)估計(jì)一個(gè)學(xué)校操場(chǎng)大約有多大，不知道如何用最恰當(dāng)?shù)姆绞较騽e人說(shuō)明自己所在的位置，不能在需要的時(shí)候用數(shù)學(xué)的方式解釋某些現(xiàn)象，能說(shuō)這個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)高嗎？這樣的數(shù)學(xué)教育能說(shuō)是成功的數(shù)學(xué)教育嗎？注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，正是針對(duì)以往的數(shù)學(xué)教育過(guò)分強(qiáng)調(diào)單一的知識(shí)與技能訓(xùn)練、忽視數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系、忽視數(shù)學(xué)的實(shí)際運(yùn)用這種傾向提出來(lái)的.
　　1.通過(guò)估算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
　　以學(xué)校開展“從我做起、保護(hù)環(huán)境、愛護(hù)地球”活動(dòng)為例，為增強(qiáng)說(shuō)服力，教師可以這樣設(shè)計(jì)問題，要求學(xué)生估算解答:“全國(guó)的初中學(xué)生如果每人每天浪費(fèi)一小張紙，一年全國(guó)初中學(xué)生要浪費(fèi)多少噸紙？要用多少輛卡車運(yùn)輸？”要求學(xué)生對(duì)其中的初中學(xué)生數(shù)、一小張紙有多大多重、一輛卡車能運(yùn)幾噸等數(shù)據(jù)都必須做出合理的估計(jì)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行估算.學(xué)生得出：若全國(guó)有1.3億初中學(xué)生，紙張就算一人一天浪費(fèi)30克的16開的小紙張，而一輛卡車的載重量為5噸，那么在這些基本數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算，真是“不算不知道，一算嚇一跳.”根據(jù)題意全國(guó)的初中學(xué)生一年浪費(fèi)的紙張達(dá)90000噸，要用18000輛卡車才能運(yùn)完.同時(shí)還可以結(jié)合題目讓學(xué)生談?wù)勅绾伪Ｗo(hù)環(huán)境、愛護(hù)地球.這樣的活動(dòng)在提高了學(xué)生的估算能力的基礎(chǔ)上，使學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)觀察和認(rèn)識(shí)事物的習(xí)慣，并逐步學(xué)會(huì)把簡(jiǎn)單的實(shí)際問題表示為數(shù)學(xué)問題.
　　2.介紹古代記數(shù)方法，豐富數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
　　人們可以用不同的方式表示數(shù)，抽象的數(shù)字符號(hào)不是表示數(shù)的唯一方式.人類早期對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)是從實(shí)物、代替物、圖形，逐漸發(fā)展為數(shù)字符號(hào)的，如最初用小石子、樹枝、貝殼之類記數(shù)，后來(lái)用“結(jié)繩記數(shù)”，最后產(chǎn)生了數(shù)，所以人類的數(shù)感也是一個(gè)由具體到抽象的過(guò)程.數(shù)感，使人眼中看到的世界有了量化的意味，當(dāng)我們遇到可能與數(shù)學(xué)有關(guān)的具體問題時(shí)，就能自然地、有意識(shí)地與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來(lái)，或者試圖進(jìn)一步用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和方法來(lái)處理解決，即會(huì)“數(shù)學(xué)地”思考.了解古代記數(shù)方法的演變過(guò)程，可以豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
　　二、數(shù)感的建立也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力的需要
　　數(shù)感的建立使學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)接觸和體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)問題，表達(dá)自己對(duì)問題的看法，用不同的方式思考和解決問題，這無(wú)疑有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力.
　　1.體驗(yàn)數(shù)感，培養(yǎng)動(dòng)手操作能力。
　　瑞士心理學(xué)家皮亞杰說(shuō)：“學(xué)生的思維最初從動(dòng)作開始的，切斷動(dòng)作與思維的聯(lián)系，思維就得不到發(fā)展；智慧的鮮花是開在手上的.”動(dòng)手操作活動(dòng)是學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)不斷內(nèi)化、提升的過(guò)程，也是學(xué)生主動(dòng)發(fā)展的自由天地，注重動(dòng)手操作的數(shù)學(xué)課堂將成為學(xué)生探索的樂園、創(chuàng)新的搖籃.而數(shù)感的作用，讓學(xué)生有了操作的方向.
　　如教平行四邊形面積的計(jì)算時(shí)，回憶矩形的面積計(jì)算公式，利用對(duì)數(shù)學(xué)公式的直接反應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生利用紙片、剪刀、直尺等工具把平行四邊形怎樣轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)的矩形，學(xué)生動(dòng)手操作將剪下的直角三角形從左邊移到右邊，從而既解決了平行四邊形的面積問題，又培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手操作能力.因此，“數(shù)感”牽引著實(shí)際操作，拓寬了知識(shí)的范圍.這樣的教學(xué)，突破了教學(xué)結(jié)論的束縛，使學(xué)生的實(shí)踐能力得到了發(fā)展.
　　2.感悟數(shù)感，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力。
　　在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，我們經(jīng)常發(fā)覺，面對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)情境，有些學(xué)生迅捷反應(yīng)，思路清晰；有些學(xué)生苦思冥想，姍姍作答.這實(shí)際上就是一種獨(dú)特的心理結(jié)構(gòu)和思維現(xiàn)象——數(shù)學(xué)氣質(zhì)的不同所造成的.前者一開始總是自發(fā)或自覺地傾向于通過(guò)直接的數(shù)學(xué)棱鏡去認(rèn)知數(shù)學(xué)對(duì)象和學(xué)習(xí)內(nèi)容，進(jìn)而成為數(shù)學(xué)氣質(zhì)中的精髓——數(shù)感.
　　例如：在解決三角形的內(nèi)角和的定理證明時(shí)，有良好數(shù)感的人馬上能從“180度”聯(lián)想到平角和同旁內(nèi)角互補(bǔ)，從而為后面的添平行線打下基礎(chǔ)，進(jìn)而用多種方法解決定理的證明，拓寬思路，提高創(chuàng)新能力.
　　三、數(shù)感的培養(yǎng)有助于學(xué)生數(shù)學(xué)地理解和解釋現(xiàn)實(shí)問題
　　數(shù)學(xué)是人們認(rèn)識(shí)社會(huì)、認(rèn)識(shí)自然和日常生活的工具.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，一方面是為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，另一方面是要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方法和數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)周圍事物和客觀世界的規(guī)律，處理有關(guān)的問題.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感就是讓學(xué)生更多地接觸和理解現(xiàn)實(shí)問題，有意識(shí)地將現(xiàn)實(shí)問題與數(shù)量關(guān)系建立起聯(lián)系.
　　1.理解數(shù)的意義，解釋現(xiàn)實(shí)問題。
　　數(shù)的產(chǎn)生來(lái)源于生活，密切聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，有利于對(duì)數(shù)的意義的理解.反過(guò)來(lái)，良好的數(shù)感又為理解現(xiàn)實(shí)問題服務(wù).在教“負(fù)數(shù)”時(shí)，就可以讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)在生活中什么時(shí)候能用到負(fù)數(shù)？例如：溫度-10℃或-20℃，還有電梯的-1層或-2層，等等，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)就在我們身邊，學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，能數(shù)學(xué)地理解和解釋現(xiàn)實(shí)問題.
　　2.運(yùn)用數(shù)的統(tǒng)計(jì)方法，解決現(xiàn)實(shí)問題。
　　數(shù)學(xué)是和現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系最密切的學(xué)科之一，許多數(shù)學(xué)知識(shí)都來(lái)源于生產(chǎn)、生活實(shí)際，又能應(yīng)用于實(shí)際.例如教學(xué)《統(tǒng)計(jì)》時(shí)，結(jié)合準(zhǔn)備新年聯(lián)歡會(huì)，教師可以設(shè)計(jì)這樣一個(gè)情節(jié)：新年就要到了，我們班要舉行入學(xué)以來(lái)的第一次新年聯(lián)歡會(huì)，聯(lián)歡會(huì)上要給每位同學(xué)買一個(gè)他最喜歡吃的水果，該買哪些水果呢？每種水果該買多少呢？讓學(xué)生討論如何解決這個(gè)問題.有的學(xué)生說(shuō)：“誰(shuí)喜歡吃什么就告訴老師.”有的說(shuō)：“喜歡吃蘋果的舉手，數(shù)一數(shù)有幾個(gè)，再讓喜歡吃香蕉的舉手，數(shù)一數(shù)有幾個(gè)……”總之，學(xué)生已經(jīng)感到必須在進(jìn)行調(diào)查后作出的決定才能使大多數(shù)同學(xué)滿意，這就使學(xué)生初步感受到統(tǒng)計(jì)知識(shí)在生活中的應(yīng)用.學(xué)好數(shù)的整理能解決生活中碰到的實(shí)實(shí)在在的問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲.
　　
　　四、數(shù)感的培養(yǎng)有利于學(xué)生提出問題和解決問題能力的提高
　　解決問題能力的培養(yǎng)重要的是在具體的問題情境中讓學(xué)生去探索、去發(fā)現(xiàn)，解決一個(gè)問題可能需要一種以上策略，不只是簡(jiǎn)單地套用公式解固定的模式化的問題.要使學(xué)生學(xué)會(huì)從現(xiàn)實(shí)情境中提出問題，從一個(gè)復(fù)雜的情境中提出問題，找出數(shù)學(xué)模型，就需要具備一定的數(shù)感.學(xué)會(huì)將一個(gè)生活中的問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)數(shù)學(xué)問題，這種思維方式，與一般的解決書本上現(xiàn)成問題的思維方式有著明顯的差異.學(xué)生要在遇到具體問題時(shí)，自覺主動(dòng)地與一定的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能建立起聯(lián)系，這樣才有可能建構(gòu)與具體事物相聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型.具備一定的數(shù)感是完成這類任務(wù)的重要條件.
　　1.感受數(shù)感，自主探索。
　　著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō)：“學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑是自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中內(nèi)在的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系.”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)測(cè)量建立起良好的數(shù)感，讓學(xué)生在自主探索的過(guò)程中得出結(jié)論.如教學(xué)“正方形四條邊邊長(zhǎng)相等”時(shí)，讓學(xué)生先進(jìn)行測(cè)量，通過(guò)對(duì)測(cè)量的數(shù)據(jù)的感受提出問題:正方形的四邊均相等嗎?促使學(xué)生自主探究，得出證明方法.這樣，既提出了問題又解決了問題.
　　2.利用數(shù)感，變式練習(xí)。
　　學(xué)生數(shù)學(xué)能力和思維的培養(yǎng)，都必須以學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)積累為前提.知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力，是一個(gè)漸變的過(guò)程.完成這一過(guò)程一要靠理解，二要靠練習(xí)，而數(shù)感就是理解與練習(xí)程度的指標(biāo).數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)始終在智能發(fā)展過(guò)程中起著奠基和主導(dǎo)作用，沒有知識(shí)，就無(wú)法形成數(shù)感；反之，數(shù)感越健全，知識(shí)也就越扎實(shí)，而且知識(shí)更易活化.因此，課堂教學(xué)應(yīng)在加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)的同時(shí)，擴(kuò)張和加深練習(xí)內(nèi)容，通過(guò)科學(xué)選題，以必要的訓(xùn)練作用于學(xué)生.比如，在“三角形的內(nèi)角和”課上，我設(shè)計(jì)了下面一組變式題：
　　如圖：在ΔABC中，∠A=80°，∠ABC和∠BCA的角平分線相交于點(diǎn)D，求∠BDC的度數(shù)?
　　變式：（1）若∠A=40°呢?
　　（2）若∠A=m°呢?
　　（3）把“BD，CD分別平分∠ABC和∠BCA”改成“∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠BCA”呢?那么（2）的結(jié)論還會(huì)成立嗎?
　　在訓(xùn)練的時(shí)候，有良好數(shù)感的學(xué)生馬上反應(yīng)過(guò)來(lái)，只不過(guò)把前面的換成或而已，計(jì)算方法，計(jì)算思路還是不變.
　　利用數(shù)感進(jìn)行高效的練習(xí)，不斷變換角度，緊緊瞄準(zhǔn)，突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，這樣設(shè)計(jì)的問題能解決一類題，這對(duì)訓(xùn)練學(xué)生思維和能力是大有裨益的.反過(guò)來(lái)，經(jīng)常將相同、相似和相異的數(shù)學(xué)內(nèi)容放在一起，讓學(xué)生細(xì)心地比比、看看、想想，領(lǐng)悟其中的聯(lián)系與差別，在比較中強(qiáng)化感知性、感應(yīng)性和感受性.
　　3.升華數(shù)感，尋找巧解。
　　用不同的方法解答相同的問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.通過(guò)比較，在優(yōu)中選優(yōu)，可以使同學(xué)們的思維更加靈活，從而擺脫思維定勢(shì)的限制.但如果具備一定的數(shù)感，用敏銳的眼光發(fā)現(xiàn)問題的具體特點(diǎn)，直接根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，而不拘泥于一般思路，就會(huì)迅速地找到巧妙的解法.
　　例如：如圖，已知△ABC的面積是36平方厘米，求陰影部分的面積.
　　一般解法：
　　（1）△ABC的底為：4＋8＝12（厘米）
　　（2）△ABC的高為：36×2÷12=6（厘米）
　　（3）陰影部分的面積為：4×6÷2=12（平方厘米）
　　巧妙解法：連接三角形ABC的頂點(diǎn)A和底邊BC的三等分點(diǎn)，這樣三角形ABC就被分成了三個(gè)小三角形.因?yàn)殛幱叭强傊瑪?shù)感的培養(yǎng)在數(shù)學(xué)教育中起著重要的作用，但數(shù)感的形成不是靠一朝一夕就能完成的，它是一個(gè)潛移默化的過(guò)程，需要用較長(zhǎng)時(shí)間逐步培養(yǎng).教師要努力鉆研教材，創(chuàng)造性地運(yùn)用教材所提供的素材巧設(shè)教學(xué)環(huán)節(jié)，把幫助學(xué)生建立數(shù)感作為數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)并落實(shí)到具體課堂教學(xué)過(guò)程中去，目的就在于使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)方法解決現(xiàn)實(shí)問題.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　［１］劉兼.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀.北京師范大學(xué)出版社，2002.5.
　　［２］楊華.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感.河北教育出版社，2004.5.
　　［３］馬云鵬.史炳星.認(rèn)識(shí)數(shù)感與發(fā)展數(shù)感.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002，11.
　　［４］陳亞萍，付茁.數(shù)感的含義.價(jià)值及其對(duì)課程改革的啟示.2007.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文