概率與統計中的常見錯誤剖析

　　摘 要： 概率與統計是中學數學教學中的重要部分，也是學生的難點之一，本文作者就概率與統計中的常見錯誤進行剖析，以引導學生正確理解和運算。
　　關鍵詞： 中學數學 概率與統計 錯誤剖析
　　
　　一、對各事件概念理解不透徹，濫用公式
　　例1.拋擲一均勻的正方體玩具（各面分別標有數字1、2、3、4、5、6），事件A表示“朝上一面的數是奇數”，事件B表示“朝上一面的數不超過3”，求P（A+B）.
　　錯解：∵P（A）＝=，P（B）＝=.
　　∴P（A+B）＝P（A）+P（B）＝＋＝1.
　　剖析：出現1或3時，事件A、B同時發生，故事件A、B并不互斥.
　　正解：將A+B分成出現“1、2、3”與“5”這兩個事件，記出現“1、2、3”為事件C，出現“5”為事件D，則C與D兩事件互斥，故P（A+B）＝P（C+D）＝P（C）+P（D）＝+=.
　　例2.某種產品100件，其中有5件是次品，現從中任意抽取5件，求恰有1個次品的概率.
　　錯解：由題意知，這種產品的次品率為5%，且每次抽取相互獨立，由獨立重復試驗概率公式，得5件產品中恰有1件次品的概率為P（1）=C（1-）=0.2036.
　　剖析：從100件產品中任取5件，可當作抽了5次，每次抽1個，但無論每次抽到次品還是正品，都影響到下一次抽到次品或正品的概率，故該試驗不是獨立重復試驗.
　　正解：設恰有1個次品為事件A，則P（A）==0.2214.
　　二、混淆“互斥”與“獨立”，張冠李戴
　　例3.有10件產品分三個等級，其中一等品4件，二等品3件，三等品3件，從10件產品中任取2件，求取出的２件產品同等級的概率．
　　錯解：分別記“取出2件一等品”、“取出2件二等品”、“取出2件三等品”為事件A、A、A，依題意知，事件A、A、A相互獨立，
　　∴P（A）=P（A?A?A）=P（A）?P（A）?P（A）=??=.
　　剖析：本題錯解的原因是把互斥事件當成相互獨立事件來考慮，實際上，A、A、A不可能同時發生，是互斥事件.
　　正解：P（A）=P（A+P+A）=P（A）+P（A）+P（A）=++=.
　　點評：不可能同時發生的兩個事件A、Ｂ叫做互斥事件.若事件A（或B）是否發生對事件B（或A）的發生沒有影響，則A、B叫做相互獨立事件.一般情況下，互斥與相互獨立是兩個互不等價，完全不同的概念．
　　三、審題時思維欠嚴密，或重或漏
　　例4.甲、乙兩個單位分別獨立地從10名應聘人員中招聘工作人員各2名，那么至少有1人被甲乙兩個單位都錄用的概率是多少？
　　錯解1：設至少有1人被兩個單位都錄用的事件為A.則基本事件總數為CC，事件A包含的結果有個CCC，這里C是確定被兩個單位都錄用的方法數，而CC是在剩下的9人中兩單位獨立招1人的方法數.故P（A）==.
　　錯解2：事件A包含的結果有CA個，這里A表示從9人中任選兩人分別進甲、乙兩單位，故P（A）==.
　　剖析：錯解1中，事件A所包含的結果出現重復，比如：若C確定的是a，而CC時兩個單位都選中b，與若C確定的是b，而CC時兩個單位都選中a，是同一種結果.
　　錯解2中，事件A所包含的結果是有且僅有1人被兩個單位同時錄用.遺漏恰有2人被兩個單位同時錄用的情況.
　　正解：事件A包含的結果有CA+C個，恰有1人被兩個單位同時錄用的結果有CA個，恰有2人被兩個單位同時錄用的結果有C個，所以P（A）==.
　　四、忽視隨機變量取值范圍，畫蛇添足
　　例5.設隨機變量的概率分布為
　　錯解：由分布列的性質知9a-a+3-8a=1，解得a=或.
　　剖析：上述解法中應用性質P（i=1，2，…）時，忽略了另一性質0≤P≤1（i=1，2，…），當a=時，3-8a=-＜0，不符合后一條性質，必須舍去.
　　正解：9a-a+3-8a=10≤9a-a≤10≤3-8a≤1，解得a=.
　　五、誤讀隨機變量取值的實際意義，盲目下手
　　例6.某射手每次命中目標的概率為0.15，現該射手連續向某目標進行射擊，如果命中目標，則射擊停止，否則繼續射擊，直到命中目標，但射擊次數最多不超過10次，設該射手射擊次數為，則P（η=10）=?搖?搖?搖?搖?搖.
　　錯解：P（η=10）=0.85×0.15.
　　剖析：本題錯解的原因是沒有明確隨機變量η取值的實際意義，由于射擊次數不超過10次，因此η=10表示前9次射擊未中目標且第10次可能擊中也可能未擊中目標兩種情況，而錯解只考慮到第10次擊中這種情形．
　　正解：P（η=10）=0.85×（0.15+0.85）=0.85.故應填0.85.
　　六、忽視抽樣方法的本質，勞而無功
　　例7.某市為了了解職工家庭生活狀況，先把職工按所在行業分為10類，然后每個行業抽1000個家庭進行調查，這種抽樣是（ ）
　　A.簡單隨機抽樣B.系統抽樣
　　C.分層抽樣D.不屬于以上幾類抽樣
　　錯解：C.
　　剖析：由于每類家庭數不同，所以每個行業抽1000個家庭進行調查，每個家庭被抽到的概率也不同，而A、B、C這三種抽樣均是等概率抽樣.
　　正解：D.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文