線性代數中有關二次型問題的題型及解法

　　摘 要： 線性代數中的二次型在當今社會各個領域都有廣泛的運用，關于二次型的問題也是高等數學學習和研究生考試的重點和難點。由于二次型問題與線性代數知識存在著密切的聯系，分析和研究二次型問題的題型和解法對深入學習線性代數具有重要的基礎作用。本文以高等數學試題中提供的關于二次型問題為例探討了二次型題型的一般類型，以及相應的解法，為高校學生學習線性代數提供一些參考。
　　關鍵詞： 線性代數 二次型 題型 解法
　　
　　二次型理論產生的背景和存在的意義在于解析幾何中為了能夠更加清楚地分析曲線和二次曲線的幾何性質，常常需要把二次曲線和二次曲面的一般形成轉化成標準形.從運用角度看，二次型理論在日常中的數理統計、物理學、力學，以及日益興趣的現代控制理論等領域都有著重要的應用.高等數學《線性代數》教學大綱把二次型作為教學重點，如二次型及其矩陣表示、用配比法、正交變換化二次型為標準形，還有正定二次型與正定矩陣的概念及其判別法，等等.這些內容都涉及了線性代數中有關二次型問題的題型，以及存在的幾種解法.研究生考試的參考書目高數1和高數3都對二次型問題題型及其解法提出了要求，本文以研究生考試試題為例探討了二次型問題題型，以及存在的解法.
　　一、什么是二次型
　　含n個變量x，x，…，x的二次齊次多項式f（x，x，…，x）=ax+2axx+2axx+…+2axx+ax+2axx+…+2axx+…+ax稱為x，x，…，x的一個n元二次型函數，簡稱二次型。而二次型矩陣表為：
　　設a（i，j=1，2，…，n；i≤j）均為實常數，稱關于n個實變量x，x，…，x的二次齊次多項式函數
　　f（x，x，…，x）=ax+2axx+2axx+…+2axxax
　　+2axx+…+2axx+…+ax
　　=ax+2axx
　　為一個n元實二次型，簡稱為n元二次型。
　　令a=a，則2axx=axx+axx，再令矩陣A=（a），x=（x，x，…，x），則A為實對稱矩陣，且可將二次型寫成
　　f（x，x，…，x）=axx
　　=（x，x，…，x）a a … aa a … a a a … axxx或f（x）=xAx
　　稱此式右端為二次型的矩陣表達式，稱實對稱矩陣A為二次型f的矩陣，并稱A的秩為二次型f的秩.
　　二、二次型的解法
　　用配比法化二次型為標準型的要點是用完全平方公式和兩數平法差公式逐步消去非平方項并構造新的平方項.具體而言：
　　（1）如果二次型中含x的平方項和交叉項，則把含x的交叉項集中，按x配成平方項，對其他變量也做類似處理，直到都配成平方項為止.
　　（2）如果二次型中交叉，但不含x的平方項，則作可逆線變換x=y-y，使二次型出現平方項，再按上面的方法配方.
　　三、二次型的正定和負定性
　　1.二次型正定判別法
　　二次型為正定的充要條件是下列條件之一成了：一是f的標準形中的n個系數全為正，二是正慣性指數p=n，三是對稱矩陣的特征值權大于0，四是對稱矩陣A的各階順序主子全大于0.
　　有二次型f（x）=xAx，它的秩為r，有兩個滿秩線性變換x=Cy和x=Cz，f經上述兩個滿秩線性變換化成的標準形分別為
　　f=dy+dy+…+dy（d≠0，i=1，2，…，r）
　　f=kz+kz+…+kz（k≠0，i=1，2，…，r）
　　則d，d，…，d中正（負）數的個數與k，k，…，k中正（負）數的個數相等.
　　我們這樣認為：稱f的標準形中系數為正的平方項的個數為f的正慣性指數，稱f的標準形中系數為負的平方項的個數為f的負慣性指數，由慣性定理可見，f的標準形雖然不唯一，但f的正慣性指數p及負慣性指數r－p（其中r為f的秩）卻是由f本身唯一確定的.它們不隨滿秩線性變換的不同而改變.因此，f的規范形中系數為1的平方項的個數及系數為－1的平方項的個數也是由f本身唯一確定的，從這個意義上講，可以說二次型的規范形是唯一的.
　　假設定義（正定、半正定、負定、半負定及不定二次型）設有n元二次型f（x）=xAx（A為實對稱矩陣），如果對任意n維非零向量x，都有：
　　（1）f（x）＞0，則稱f為正定二次型，并稱實對稱矩陣A為正定矩陣；
　　（2）f（x）≥0，且x≠0，使f（x）=0，則稱f為半正定二次型，并稱實對稱矩陣A為半正定矩陣；
　　（3）f（x）＜0，則稱f為負定二次型，并稱實對稱矩陣A為負定矩陣；
　　（4）f（x）≤0，則稱f為半負定二次型，并稱實對稱矩陣A為半負定矩陣.
　　2.二次型負定判別法
　　二次型為負定的充要條件是下列條件之一成立：一是f的標準形中的n個系數全為負.二是負慣性指數p=n，三是對稱矩陣的特征值全小于0，四是對稱矩陣A的個階順序主子式中，偶數階全大于0，奇數階全小于0.
　　
　　參考文獻：
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　　［4］北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數［J］.北京：高等教育出版社.
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