力學問題中坐標系的選取方法

　　摘要：本文通過對力學中常用的一些坐標系的敘述，分析并得出了力學問題中巧建坐標系的方法。
　　關鍵詞：力學問題坐標系選取方法
　　
　　研究宏觀物體的機械運動需要選取一個參考系來確定該物體的空間位置。但僅有參考系還不能定量地描述該運動物體的位置，需要在參考系上選取適當的坐標系來確定物體在空間的相對位置。
　　要精確地研究運動，就需要對運動有定量的描述，因此為了在數量上表示一個物體相對于參考系的位置，我們以參照物為標準點（稱為坐標原點），選定一組有一定次序的數稱為坐標，組成一個系統稱為坐標系。
　　在力學中描述質點運動狀態的物理量大多數都是矢量，如質點的位移，速度和加速度，以及物體之間的相互作用力，物體的動量，等等。與這些物理量相聯系的運動學方程和動力學方程也都是矢量方程。如牛頓運動方程∑=ma，拋射體方程=vt+t。在解決這類問題時常用的方法就是建立合適的坐標系，將矢量方程投影到各坐標軸上得出相應的分量方程，用代數的方法求解。這種方法往往避免了矢量運算，使求解過程顯得簡單，而且使物理思想明確，物理圖像清晰，是解決力學問題的一種重要方法。
　　力學中常用的是平面直角坐標系，在此介紹巧建直角坐標系的方法。
　　1.正交分解法中選取坐標軸方向的一般原則
　　在解決力學問題時，常用正交分解法。在正交分解法中，選取坐標軸方向的一般原則是：盡可能使較多的力落到坐標軸上，這樣可以減少力的分解情況，得最簡單的力學方程組。
　　例：傾角為A的斜面上放一個質量為m的物體（如圖1所示），物體與斜面間的動摩擦因數為μ，物體在斜面上做加速運動。求物體的加速度。
　　分析與解：選質量為m的物體為研究對象，物體受重力，支持力和滑動摩擦力，分別建力沿斜面向上為x軸，垂直斜面向上為y軸的直角坐標系和水平向右為x軸豎直向上為y軸的直角坐標系，分解重力，支持力，摩擦力如圖1-1、圖1-2所示。
　　由圖1-1知由圖1-2知
　　F=f-mgsinA=maF=fcosA-NsinA
　　F=N-mgcosA=0F=fsinA+NcosA-mg
　　f=μN
　　F=
　　F=μN
　　由圖1-1，MUJaS7ucYqC7SS9vn6po+w==我們可以看出只分解了重力，所列方程容易解得加速度。由圖1-2，我們可以看出重力和摩擦力都要分解，所列方程比圖1-1列的方程繁瑣。由此例我們可以看出按照選取坐標軸方向的一般原則做題可以使問題簡單、直觀，容易理解。
　　2.三力平衡問題中坐標軸的選取方法
　　三力平衡是高中物理中常見的力學問題，三力平衡中重力一般為已知力，另外兩個力為未知力，當兩個未知力互相垂直時，根據上述坐標軸的選取原則即可。但有時兩力并不垂直，這種情況下如何選取坐標軸的方向呢？下面我們通過一例來討論這個問題。
　　例：如圖2所示，將一個帶電小球A，用絕緣棒固定于水平地面上某處，在它正上方L處有一懸點O，通過長為L的絕緣細線懸另一個與球A帶同性電的小球B，于是懸線與豎直方向成某一夾角θ，先設法增大A球電量，則懸線OB對B球的拉力將（）。
　　A.變大B.變小C.不變D.不能確定
　　分析可知當增大球電A量時，A、B間斥力增大則角θ增大，所以只要求出-θ間的函數關系，就可選出正確答案。我們將坐標軸原點建立在B球上，現選三種不同的坐標軸方向來分析本例中與θ的函數關系，然后從選取方向及求解的繁簡程序比較中，研究選取合適坐標軸方向的規律。
　　解法1：選水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向，在B球上建立坐標系如圖2-1所示，其中為A球對B球的庫侖斥力。經分析得B球的平衡方程為Fcos-Tsinθ=0Fsin+Tcosθ=mg。
　　此方程組的特點是，每個方程中均含有未知力和，這樣的方程組雖然可以解除答案，但比較麻煩還需解出，而我們的目的是解出-θ的函數關系，求解過程不用贅述。
　　解法2：將坐標系的軸建在懸線上，如圖2-2所示，在這樣的坐標系中經分析B球平衡方程為：
　　
　　Fcos=mgsinθmgcosθ+Fsin=T
　　圖2-2
　　此方程的特點是：方程中僅含有未知力，這種方法顯然比解法簡捷，但仍不能直接解出-θ的函數關系。
　　解法3：將X軸建在方向上，如圖2-3所示。
　　由圖可列方程Tcos=mg
　　解得：T=mg
　　此方程可直接求出與θ的函數關系，由上式可見與θ無關，故該題答案為C。
　　通過以上三種坐標軸方向的選取比較可以看出，要分析-θ關系，以第三種選取坐標軸的方法最優。因此在三力平衡問題中，當兩個未知力不垂直時，坐標軸方向的最優選取原則是：將坐標軸建在不需要分析或求解的未知力上，若兩個未知力都要求分析或求解，則可暫定某一力為不需要分析或求解的力去處理，求出這一力后，再按同樣方法求出另一未知力。
　　3.在牛頓第二定律應用問題中建立直角坐標系，確定X軸方向的兩種方法。
　　（1）分解力而不分解加速度，此時應規定加速度方向為X軸正方向。
　　例：質量為m的物體放在傾角為θ的斜面上，物體和斜面間的滑動摩擦因數為μ。如沿水平方向加一個力，使物體沿斜面向上以加速度做勻加速運動，如圖3所示，求。
　　分析與解：選質量為m的物體作研究對象，物體受重力m，外力，支持力和摩擦力。建立坐標時，以加速度方向即沿斜面向上方向為X軸的正方向，分解力，如圖3-1所示。
　　根據圖可列方程得
　　Fcosθ-mgsinθ-f=maN-Fsinθ-mgcosθ=0f=μN
　　聯立方程可解得
　　由此例可以看出規定加速度為X軸正方向我們只用分解重力m外力兩個力，所列方程相對較簡單，且這樣建立坐標系符合“選取坐標軸方向的一般原則”。
　　（2）分解加速度而不分解力，此種方法一般是以某個力為軸X正方向時，其他力都落在兩個坐標軸而不需要分解。
　　例：如圖4所示，自動扶梯的臺階上放一個質量m為的物體A，當扶梯A沿與水平面成θ角的方向上以加速度a運動時，求臺階對物體A的支持力與摩擦力。
　　分析與解：物體A受三個力重力m、支持力、摩擦力，受力分析如圖4-1所示。根據選取坐標軸方向的一般原則應選擇水平方向為X軸的直角坐標系，這樣三個力都落在坐標軸上，只需要把加速度分解到軸X、Y軸即可，由圖4-1可列方程f=-macosθN-mg=masinθ。
　　由此兩例分析可得出，坐標系的建立可以有多種方法而不影響最后結果，但為了計算方便，應當以盡量簡化矢量的分解為原則來建立坐標系。
　　直角坐標系在直線運動中應用較廣泛，但有些問題中，采用直角坐標系，使計算顯得比較復雜，如采用其他坐標系就有可能方便得多。常用的其他坐標系有平面極坐標系、自然坐標系、柱面坐標系。自然坐標系是研究曲線運動時常用的坐標系，在研究非自由質點的運動時，如果質點的運動軌跡已知，我們就選用自然坐標系描述質點的運動。
　　解算質點受有心力作用而運動的問題時選用平面極坐標系，在平面極坐標系中，質點的位置用兩個變量（r、θ）來表示，它們當然也是時間t的函數r=r（t），θ=θ（t），為徑向單位矢量，為橫向單位矢量，⊥。做圓周運動時，質點的徑向坐標r為常量；做直線運動時，質點的橫向坐標θ為常量。在平面坐標系上加上垂直的Z坐標就形成柱面坐標系，在柱面坐標系中，空間中的任意一點P的位置由r、θ、z來確定，實用中，一般使直角坐標系的z軸與柱面坐標系的z軸重合。在學拉格朗日方程之前，我們用球面坐標表示質點的運動微分方程是很繁瑣的，但是學習了拉格朗日方程后我們就可以解除這種束縛，用球面坐標系來計算問題。球面坐標和柱面坐標系適合解算對稱和柱對稱問題，在力學問題中用球面坐標系和柱面坐標系解題的情況較少，在電磁學中應用較廣泛，在這里就不再詳細闡述了。球面坐標系和柱面坐標系適用于球對稱和柱對稱問題，這些坐標系的選取方法本文就不詳細介紹。
　　總之，在不同的問題中選取不同的坐標系，會使復雜的問題簡單化。如果坐標系選取合適，不僅可以使物理思想明確，物理圖像清晰，而且可以使計算簡便，更有利于我們解決物理問題。
　　
　　參考文獻：
　　［1］程稼夫.力學.北京科學出版社.
　　［2］周衍柏.理論力學教程.北京高等教育出版社.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文