排列組合解題策略梳理

　　排列組合問題是解決概率問題的基礎，多以選擇填空形式出現，小巧靈活，有很強的抽象性和綜合性；同時又對分類討論、數形結合、轉化化歸等數學思想有著較高要求，學生不易掌握，為歷年高考必考內容.因此我們有必要將相關思維方法和解題策略梳理一下.
　　1．用好兩個原理：分類問題用加法，完成一件事的幾類方法之間是獨立的，計數時不重不漏；分步問題用乘法，完成一件事的幾步之間是連續的，計數時缺一不可。
　　例1.（2010年天津理10）如圖，用四種不同顏色給圖中的A、B、C、D、E、F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色.則不同的涂色方法共有（ ）
　　A.288種 B.264種 C.240種 D.168種
　　【答案】B
　　【解析】分三類：（1）B、D、E、F用四種顏色，則有A=24種方法；（2）B、D、E、F用三種顏色，則有A×2×2+A×2×1×2=192種方法；（3）B、D、E、F用二種顏色，則有A×2×2=48種方法，所以共有不同的涂色方法24+192+48=264種.
　　例2.（2009北京卷文）用數字1，2，3，4，5組成的無重復數字的四位偶數的個數為（）
　　A．8 B．24 C．48 D．120
　　【答案】C
　　【解析】2和4排在末位時，共有2種排法，其余三位數從余下的四個數中任取三個有A種排法，于是由分步計數原理，符合題意的偶數共有2A個.故選C.
　　2.相鄰問題捆綁法。相鄰的幾個元素捆綁成一起，視作一個元素參與排列。
　　例3.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是（）
　　A.60 B.48 C.42 D.36
　　【答案】B
　　【解析】解法一：從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有CA=6種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在A、B之間（若甲在A、B兩端.則為使A、B不相鄰，只有把男生乙排在A、B之間，此時就不能滿足男生甲不在兩端的要求）.此時共有6×2＝12種排法（A左B右和A右B左），最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙.所以，共有12×4＝48種不同排法.
　　解法二：同解法一，從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A（A共有CA種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況：
　　第一類：女生A、B在兩端，男生甲、乙在中間，共有6AA=24種排法；
　　第二類：“捆綁”A和男生乙在兩端，則中間女生B和男生甲只有一種排法，此時共有6A=12種排法；
　　第三類：女生B和男生乙在兩端，同樣中間“捆綁”A和男生甲也只有一種排法.此時共有6A=12種排法.
　　三類之和為24＋12＋12＝48種.
　　3．不相鄰問題插空排。元素不相鄰問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規定的不相鄰的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端。
　　例4.七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數是（ ）
　　A.1440種 B.3600種 C.4820種 D.4800種
　　解析：除甲乙外，其余5個排列數為A種，再用甲乙去插6個空位有A種，不同的排法種數是AA=3600種，選B.
　　4.定序問題除法法則。在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用先進行全排再除以保持一定順序元素的全排方法。
　　例5.A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（A，B可以不相鄰）那么不同的排法種數是（）
　　A.24種 B.60種 C.90種 D.120種
　　解析：題中元素的全排數是，即A=120種，有限定順序的元素的全排為A，故滿足條件的不同排法為，選B.
　　5.分配問題分組法。分配的元素多于對象且每一對象都有元素分配時常用先分組再分配。
　　例6.4名優秀學生全部保送到3所學校去，每所學校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？
　　解析：把四名學生分成3組C有種方法，再把三組學生分配到三所學校有A種，故共有CA=36種方法.
　　6．名額分配問題隔板法。
　　例7.10個三好學生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？
　　解析：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應著一種分配方案，故共有不同的分配方案有C=84種.
　　7．限制條件的分配問題分類法。
　　例8：某高校從某系的10名優秀畢業生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經濟開發建設，其中甲同學不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？
　　解析：因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：
　　①若甲乙都不參加，則有派遣方案A種；
　　②若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學生有A方法，所以共有3A；
　　③若乙參加而甲不參加同理也有3A種；
　　④若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另外兩個城市有A種，共有7A方法.
　　所以共有不同的派遣方法總數為A+3A+3A+7A=4088種.
　　8．多元問題分類法。元素多，取出的情況也多種，可按結果要求分成幾類情況分別計數。
　　例9.（重慶卷文10）某單位擬安排6位員工在今年6月14日至16日（端午節假期）值班，每天安排2人，每人值班1天。若6位員工中的甲不值14日，乙不值16日，則不同的安排方法共有（）
　　A.30種 B.36種 C.42種 D.48種
　　【解析】法一：所有排法減去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法，即CC-2×CC+CC=42.
　　法二：分兩類：甲、乙同組，則只能排在15日，有C=6種排法；甲、乙不同組，有CC（A+1）=36種排法，故共有42種方法.
　　【答案】C
　　例10.（2010天津理）用四種不同顏色給圖