握手定律的探究及妙用

　　摘 要： 數學學習中有時只要掌握好一種方法，就能解決一大類問題。一種好的方法，不但能夠將問題由難變易，而且能激發學生的學習興趣，還能培養學生的洞察能力及探索精神。本文介紹了握手定律的探究及妙用。
　　關鍵詞： 握手定律 探究 妙用
　　
　　一、問題引入
　　1．直線兩兩相交，兩條直線1個交點，三條直線最多3個交點，那n條直線最多有幾個交點？
　　2．過任意兩點畫1條直線，過三點中的任意兩點最多畫3條直線，那過n個點中的兩點最多畫幾條直線？
　　這是初中學生在數學中經常碰到的習題。對于具體的數字，學生可以通過試驗得到答案。但是推廣到n，這對沒學過排列組合的初中學生來說還是很困難的。
　　二、定律探究
　　我們先來看下面這個問題：一次同學聚會，任意兩人都相互握手，共握了15次手，問共來了多少人？
　　探究一：兩個人握1次手，三個人握（1+2）次手，四個人握（1+2+3）次，五個人握（1+2+3+4）次，六個人握（1+2+3+4+5=15）次，依此類推得到規律：n個人兩兩握手，共握（1+2+3+4+……n-1）=n（n-1）/2次。所以：n（n-1）/2=15，解得n=6。
　　探究二：設共有n個人，每一個人都會其他的（n-1）個人握手，但這樣算，顯然把每個交點都算了兩次，所以需要除以2，即：n（n-1）/2條。就得到規律：n個人兩兩握手，共握n（n-1）/2次手。所以：n（n-1）/2=15，解得n=6。
　　由以上的探究可得“握手定律”：n個人兩兩握手，共握n（n-1）/2次手。
　　三、問題解決
　　我們巧妙地將問題進行轉化，由握手定律很容易解決開始兩個問題。
　　解決一：n條直線相當于n個人，兩兩相交相當于兩兩握手，直線最多有幾個交點個數就是握手的次數。即那n條直線最多有n（n-1）/2個交點。
　　解決二：n個點相當于n個人，過兩點畫一條直線相當于兩人握手，過n個點中的兩點最多畫n（n-1）/2個條直線。
　　四、定律的妙用
　　在初中數學學習中許多習題都可用握手定律來解決，我們要對握手定律深入理解，用得熟練，巧妙地轉化，有時會取得意想不到的效果。
　　例1：在平面上畫100條直線，這些直線最多能形成多少個交點？
　　解析：根據握手定律可知100條直線最多能形成交點的個數是：100×（100-1）/2=4950。
　　例2：數一數，下圖中共有幾個銳角?
　　解析：根據握手定律5×（5-1）/2=10，所以共有10個銳角。
　　例3：兩地之間共8個站（包括起終點），每兩站之間票價不同，問有多少種不同的票價？有多少種不同的車票？
　　解析：根據握手定律，每兩個點之間就有一條線段，不同的線段就有不同的票價所以共有8×（8-1）/2=28種不同票價。由于從A到B與從B到A票價相同，但車票不同，所以有56種不同的車票。
　　例4：如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，AD是△BC的中線，E是AD的中點。F是AC的中點，問圖中有幾對相似的三角形？
　　解析：圖中共有7個等腰三角形，任意兩個三角形都是一對相似，根據握手定律可得有7（7-1）/2=21（對）。
　　例5：若正方形ABCD的對角線交于點O，則圖中共有多少對面積相等的三角形？如果把正方形改為矩形呢？改為菱形呢？
　　解析：三角形面積為正方形面積二分之一的4個中面積相等的三角形共有4×（4-1）/2=6（對），面積為正方形面積四分之一有4個中面積相等的三角形也共有4×（4-1）/2=6（對），所以圖中共有12對面積相等的三角形。
　　例6：一個9×11個小矩形組成大矩形一共有多少個矩形？（）
　　A.2376 B.1188 C.2970 D.3200
　　解析：在9×11大矩形的長邊上有10個點，任意兩點之間都有一條線段，據握手定律可知有10×（10-1）/2=45條線段。在9×11大矩形的長邊上有12個點，任意兩點之間都有一條線段，根據握手定律可知有12×（12-1）/2=66條線段。
　　所以，一個9×11個小矩形組成大矩形一共有45×66=2970個矩形。此題選C。
　　例7：初一四班共有50人，其中有5個班干部，老師想從班上任意選2人參加課外活動，每個人被選中的可能性相同，剛好選到的2人都是班干部的概率是多少？
　　分析：此題看起來很簡單，但對初中學生來說要做對還是不容易。根據握手定律50人中任意兩人握手共握50×（50-1）/2=1225次，但5個班干部任意兩個握手共握5×（5-1）/2=10次。這樣概率就好求了。
　　解析：50人中任意選2人共有50（50-1）/2=1225次選法，兩個人中恰好都是班干部的有5×（5-1）/2=10種選法，而每個人被選中的可能性相同，所以剛好選到的是班干部的概率是10/1225=2/245。
　　總之，握手定律在初中學生還沒有學排列和組合時，應用非常廣泛。如果巧妙地應用握手定律，不但能使許多難題巧妙化解，而且能培養學生的數學學習興趣，使學生觀察能力及探索能力得到進一步的提高。
　　以上是我工作以來積累的一些經驗，望各位同仁批評指正。
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