“三變”有何

　　摘 要： 三角函數中的“三變”指的是“變角、變次、變姓”．文章對有關典型高考試題進行剖析和解答，引導解題者用心來體驗、感悟一些所謂的“高超技巧”是如何實現“熟路駕輕車，別扭變自然”的．文章從對三種變形的分析中還指出解題者應優化解題心態，尤其是要達到良好心理狀態，在積累經驗的基礎上提升自己，樹立先進的解題理念．這些對于學生從根本上提高數學學習水平、增強解決問題的能力、優化數學素養都具有非凡的意義．
　　關鍵詞： 三角函數變角 變次 變姓
　　
　　數學被譽為“創造的科學”，一些具有創造性的所謂“高超技巧”令人感到撲朔迷離、眼花繚亂、神奇莫測、高不可攀.就說三角函數中的恒等變換技巧——“三變”吧，別出心裁的奇思妙想使人覺得不可思議、難以駕馭.而事實如何呢？有詩為證：
　　三變有何難，奧秘來體驗.創造本平凡，神奇亦簡單.
　　只要基礎實，不變應萬變.心胸眼界寬，我也能看穿.
　　三角函數中的“三變”指的是“變角、變次、變姓”.本文通過一些典型高考試題的剖析和解答，用心來體驗、感悟一些所謂的“高超技巧”是如何在我們手中實現“熟路駕輕車，別扭變自然”的.
　　1.變角
　　7°、15°、8°三個角之間有什么玄機？7°=15°-8°，一道極其簡單的算術題.再如β=α-（α-β）、2α=（α+β）+（α-β）、β=（-）+（+），等等.在三角函數變換中被稱為“變角”，實屬“貌不驚人”的“雕蟲小技”，但在解答相關問題中卻可以出奇制勝.
　　例1（1997年全國試題）求式子的值.
　　解析：運用上面所說的技巧，立即奏效.
　　原式=
　　==tan15°=tan（45°-30°）=…=2-
　　三變兩化，好像“玩魔術”一樣，竟求得了一個陌生式子的準確值.“外行看熱鬧，內行看門道”，魔術師以掩蓋真相為奇，我們卻反其道而行之，以揭露真相為樂.
　　例2（1992年全國試題）設＜β＜α＜，cos（α-β）=，sin（α+β）=-，求sin2α.
　　解析：若看穿2α=（α+β）+（α-β）這個簡單奧秘，則此題實為“小菜一碟”，否則依靠硬闖蠻干，不能奏效.由已知，求得cos（α+β）=-，sin（α-β）=，則sin2α=sin［（α-β）+（α+β）］=sin（α-β）cos（α+β）+cos（α-β）sin（α+β）=…=-.
　　另外，asinx+bcosx=sin（x+φ）是“變角”的又一常用模式，其中的φ被稱為輔助角.首次應用時，無不嘖嘖稱奇，但當熟能生巧后，便感到得心應手、左右逢源.
　　2.變次
　　將高次變為低次，或將低次變為高次，這是代數中的常用技巧，鼓舞人心的是此技巧在三角變換中也可大顯身手.
　　例3（2009年湖北試題）“sinα=”是“cos2α=”的（ ）
　　A.充分非必要條件 B.必要非充分條件
　　C.充要條件D.既非充分又非必要條件
　　解析：cos2α與sinα之間有一根紐帶聯系著，即cos2α=1-2sinα，一次變為二次，同時還出現了“變角”.由cos2α=1-2sinα=可解得sinα=±；反過來由sinα=可推得cos2α=，故選A.有了充要條件的參與，題目設計得更精彩.
　　例4（2008年廣東試題）設f（x）=（1+cos2x）sinx（x∈R），則函數f（x）是（）
　　A.最小正周期為π的奇函數
　　B.最小正周期為π的偶函數
　　C.最小正周期為的奇函數
　　D.最小正周期為的偶函數
　　解析：例3中的次數是“低變高”，屬于升冪；別忘記，還有次數“高變低”，屬于降冪.
　　因為f（x）=2cosxsinx=sin2x=（1-cos4x），所以選D.
　　先升冪，后降冪，有升有降，多彩多姿.
　　3.變姓
　　三角函數有正弦、余弦，簡稱“弦”，還有正切、余切，簡稱“切”，“弦切互化”則是三角函數常用的技巧，故稱為“變姓”.
　　例5（2009年遼寧試題）已知tanθ=2，則sinθ+sinθcosθ-2cosθ的值為（）
　　A.- B. C.- D.
　　解析：典型的“弦化切”的“變名”技巧.
　　sinθ+sinθcosθ-2cosθ=
　　 ==…=.
　　例6（1988年全國試題）已知sinθ=-，且3π＜θ＜，求tan.
　　解析：已知“弦”的值，欲求“切”的值，當然須“切化弦”，還要加上降冪.二十幾年前的這道試題，要求還是相當高的，現在的要求降低了嗎？請看下面一例.
　　例7（2009年全國試題）若＜x＜，則函數y=tan2xtanx的最大值為?搖?搖?搖?搖.
　　解析：又是2x，又是三次方，很棘手.“切化弦”后，再看：
　　y=tanx=.由已知，得tanx＞1，y＜0.
　　通過換元，令tanx=t，則y=，三角函數變成了代數函數，這也是一種“變姓名”.
　　對于這類代數函數，應該說我們是比較熟悉的，y==，則由∈（0，1），得（-）-的最小值為-，故原函數的最大值為-8.
　　換元、二次函數等，大大拓寬了我們的視野和知識面，使我們喜獲豐收.
　　三角函數中的“三變”是如此，數學中的其他所有技巧不都是如此嗎？具有了這樣的理念，優化了我們的心態，一切都變得簡單了.行文至此，感慨良多，解答數學題的具體技巧、題目難度的大小已變得不十分重要了，更重要的是科學發展觀、先進的解題指導思想和良好的心理狀態.若達到了這樣的高境界，對于從根本上提高數學學習水平、解決問題的能力、優化數學素養都具有非凡的意義.