巧證立體幾何中的線線垂直問題

　　垂直問題在立體幾何中占有重要的地位，是歷年高考命題的熱點.空間中的垂直關系有：線線垂直、線面垂直、面面垂直，其中線線垂直是最基本、最主要的.它在三者轉化過程中起著穿針引線的作用，證明線線垂直是解決垂直問題的關鍵，因此把證明線線垂直的方法研究透徹具有重要的意義.
　　一、利用平面幾何知識證明線線垂直
　　由于立體幾何中的很多問題都可以通過“化空間為平面”的思想方法來解決，因此平面幾何中證明線線垂直的方法仍適用.如：勾股定理、菱形或正方形的對角線互相垂直、等腰三角形的三線合一、直徑所對的圓周角是直角、三角形全等、過切點的半徑垂直于切線，等等.
　　1.利用等腰三角形中“三線合一”的性質證明線線垂直。
　　例1：已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB和PC的中點（如圖），求證：MN⊥AB.
　　分析：由于M是AB邊上的中點，因此可以聯想到利用等腰三角形中“三線合一”性質來證明.不妨先構造一個三角形，然后證明它是等腰三角形.
　　證明：連接PB、BN、AC、AN，由PA⊥平面ABCD，BC⊥AB且BC?奐平面ABCD。
　　∴PB⊥BC
　　∵N是PC中點
　　∴BN=PC
　　∵PA⊥AC
　　∴AN=PC
　　∴AN=BN，△ANB是等腰三角形
　　∵M是AB中點
　　∴MN⊥AB
　　點評：本題是先借助直角三角形的性質“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得到AN=BN，再利用等腰三角形“三線合一”得出MN⊥AB.
　　2.利用勾股定理證明線線垂直。
　　例2：在正方體ABCD-ABCD中，P為棱的中點，O為底面正方形ABCD的中心，求證：BO⊥PA.
　　分析：要證明BO⊥PA，可以先證BO⊥PA.可以計算一下BO，PO，BP三邊的長度，觀察是否滿足BO+PO=PB.
　　證明：連接PO，PB.
　　∵BB⊥AO，BD⊥AO
　　∴AO⊥平面BBDD，即PO是AP在平面BBDD內的射影.
　　設AB=a則BD=BD=a，OB=OD=a.
　　∵BO=OB+BB=a，PO=OD+OP=a，PB=BDB+DP=a.
　　∴BO+PO=PB，∴BO⊥PO，∴PA⊥OB.
　　點評：本題的證明過程，既用到了平面幾何中的勾股定理，又用到了立體幾何中的三垂線定理，兩者有機地結合在一起.
　　3.利用菱形的性質、三角形全等證明線線垂直。
　　例3：已知平行六面體ABCD-ABCD的底面是菱形，且∠CCB=∠CCD，證明：CC⊥BD.
　　分析：要證CC⊥BD，只要證BD⊥平面OCC，即證BD和平面OCC內的兩條直線都垂直，可以利用菱形的性質和三角形全等來證.
　　證明：連AC交BD于O，連CO、BC、DC.
　　∵四邊形ABCD為菱形
　　∴AC與BD垂直且平分，即AC⊥BD.
　　∵BC=CD，且∠CCB=∠CCD.
　　∴△CDC≌△CBC.
　　∴CD=CB即△CBD是等腰三角形.
　　又∵O是BD的中點，OC⊥BD，又CC∩OC=C，CC、OC?奐平面OCC
　　∴BD⊥平面OCC.
　　∵CC?奐平面OCC.
　　∴BD⊥CC.
　　點評：通過利用菱形的性質、三角形全等的性質、等腰三角形的性質證明了線面垂直，最后由此得出線線垂直.
　　4.利用若兩直線平行，其中一條直線垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線。
　　例1除了用等腰三角形的性質來證明外，還可以利用平行線的性質來證.
　　分析：要證明AB⊥MN，可以證明與MN平行的一條直線垂直于AB即可，不妨根據已知條件添加輔助線，構造一個平行四邊形.
　　證明：連PD取中點F，連NF，AF.
　　∴NF∥CD∥AM，且NF=CD=AB=MA.
　　∴四邊形AMNF為平行四邊形.
　　∴MN∥AF.
　　∵PA⊥平面ABCD.
　　∴PA⊥AB.
　　又∵AB⊥AD且PA∩AD=A.
　　∴AB⊥平面PAD.
　　∴AB⊥AF.
　　∴MN⊥AB.
　　點評：本題重點考查空間中的垂直關系，還考查了平面幾何中兩直線平行的判定和性質，可見平面幾何知識在立體幾何中的重要性.
　　二、利用立體幾何中證明垂直的方法
　　1.利用線面垂直或面面垂直的性質證明線線垂直。
　　例1的前兩種證明方法都是借助平面幾何的知識來完成的，我們也可以用立體幾何的知識來證.
　　分析：要證線與線垂直，可以先證線與面垂直，然后利用線面垂直的性質，得出線與線垂直.
　　證明：取AC中點E，連接ME、EN
　　∵M是AB中點.
　　∴ME∥BC.
　　∵AB⊥BC.
　　∴ME⊥AB.
　　∵EN∥PA，PA⊥平面ABCD.
　　∴EN⊥平面MEN.
　　又∵AB?奐平面ABCD且ME∩NE=E.
　　∴AB⊥平面MEN，而MN?奐平面MEN.
　　∴AB⊥MN.
　　點評：線線垂直、線面垂直、面面垂直之間可以相互轉化.
　　2.利用三垂線定理及逆定理來證明線線垂直。
　　例4：在正方體ABCD-ABCD中，P為棱的中點，O為底面正方形ABCD的中心，求證：BO⊥PB.
　　分析：要證明BO⊥PA，只要證明PA⊥AM，再證明AM是BO在平面AD中的射影即可.
　　證明：取AD中點M，連接OM，AM.
　　∵O，M均為中點.
　　∴OM∥AB∥AB.
　　又AB⊥平面AADD.
　　∴OM⊥平面AADD，即AM就是OB在AADD平面上的射影.
　　又∵△AAM≌△ADP.
　　∴∠PAD+∠AMA=90°.
　　∴PA⊥AAM.
　　由三垂線定理得PA⊥OB.
　　點評：三垂線定理來證明線線垂直，基本程序為“一垂，二射，三證”，即第一步是找平面和垂線，第二步是找射影，第三步是證明垂直.
　　三、利用向量證明線線垂直
　　“兩向量垂直的充要條件是它們的數量積為零”，通過計算兩向量的數量積來證明兩條直線或線段垂直.
　　例5：l，l是相互垂直的異面直線，MN是它的公垂線段，點A、B在l上，C在l上，且AM=MB=MN，證明：AC⊥NB.
　　分析：如果建立適當的坐標系后能算出與的數量積為零，就能證明AC⊥NB.
　　證明：建立空間坐標系M-XYZ.
　　令MN=1則A（-1，0，0）B（1，0，0）.
　　∵MN是l，l，的公垂線段，且l⊥l.
　　∴l⊥平面ABN.
　　∴l∥Z軸.
　　設C（0，1，m）則（1，1，m），=（1，1，0），?=（1，1，m）?（1，-1，0）=0.
　　∴AC⊥NB.
　　點評：用向量證明垂直的時候，要選取合適的坐標系，可以使計算變得非常簡單，通常可以利用已知的邊或特殊的邊建立坐標.
　　綜上所述，證明空間中線線垂直的方法有很多，關鍵是我們如何恰當地運用它們來巧妙靈活地解決垂直的問題.