由一道衛星變軌運動問題引發的思考

　　摘 要： 航天技術是高中物理教育的熱點，也是高考的必考點。在衛星變軌問題上學生往往容易出現錯誤，特別是加速度與向心加速度的關系學生更容易混淆。
　　關鍵詞： 衛星變軌問題 加速度 向心加速度
　　
　　例如：探月衛星沿地月轉移軌道到達月球附近進行第一次“剎車制動后被月球捕獲，進入橢圓軌道繞月飛行，如圖所示。若衛星的質量為m，遠月點Q距月球表面的高度為h，運行到Q點時它的角速度為，向心加速度為a，月球的質量為M、半徑為R，月球表面的重力加速度為g，引力常量為G。則衛星在遠月點時對月球的萬有引力大小為（ ）
　　A. B.ma C. D.m（R+h）ω
　　好多同學沒有選擇B，但也有學生選了D。
　　為了更好地解決這道題目，我們不妨先從衛星繞地球做勻速圓周運動的簡單情況入手，再拓展到橢圓軌道運動。設衛星做圓周運動的軌道半徑為r，運動周期為T，衛星質量為m，地球質量為M，根據牛頓運動第二定律可知：
　　==ma
　　即萬有引力作為合外力提供衛星勻速圓周運動所需的向心力。此種情況下因合力始終與運動方向垂直，故有F=F=F。加速度等于向心加速度。學生對這一問題比較容易理解與接受。而當衛星由圓軌道變為軌時，在變軌處速度要變化，加速度、向心加速度是否也發生變化呢？加速度與向心加速度否還相等呢？我就分別從物理學和高等數學兩個角度來闡述這個問題。
　　如圖所示，圓軌道Ⅰ和橢圓軌道Ⅱ在A點處相切。地球處在圓軌道Ⅰ中心，同時恰好處在橢圓軌道的一個焦點上。設圓軌道Ⅰ的半徑為r，橢圓軌道長半軸為a，短半軸為b，A點為近點，B點為遠點。橢圓在A點的曲率半徑為ρ。衛星由圓軌道Ⅰ變為橢圓軌道Ⅱ，必須在A點加速。若軌道半徑在這一瞬間不變，根據=知，在A點當v增大時必有F>F，衛星做離心運動，軌跡可變為橢圓軌道Ⅱ，軌道半徑就不可能是原來的r而應增大。設為ρ，則在A點需要的向心力F=，在此點所受合力為F=。兩力是否相等呢？因這時的萬有引力方向仍與運動方向（即速度方向）垂直，沒有切向分力，可見萬有引力全部提供所需的向心力，F=F即：
　　=
　　綜上分析不難得出，在橢圓軌道Ⅱ上的A點處，向心加速度與加速度相等且與在圓軌道Ⅰ上的A點處加速度相等，它們均由萬有引力產生。
　　實際上，由==可以看出，在圓軌道Ⅰ上的A點，當v增加為v時，軌道半徑同時增加為ρ，致使向心加速度保持不變。
　　下面不妨從數學的角度分析在橢圓軌道Ⅱ上的A點，加速度等于向心加速度，由萬有引力產生。不過必須先利用物理學相關知識求出在橢圓軌道的近點A或遠點B處的速度。
　　因衛星在橢圓軌道Ⅱ上運動時只受到地球引力的作用，衛星的機械能守恒。
　　由機械能守恒定律得：
　　mv-G=mv-G（1）
　　根據開普勒第二定律有：
　　vr=vr，
　　即v（a-c）=v（a+c）。（2）
　　（2）式中c=（C稱為橢圓的半焦距）
　　由（1）（2）兩式解得：
　　v=，
　　v=。
　　上面已經求出衛星在橢圓軌道近點A和遠點B的速度，下面我們不妨利用數學知識求出橢圓在A點的曲率半徑ρ，然后驗證向心力等于萬有引力。
　　如圖建立坐標系，則橢圓標準方程為：
　　+=1 （χ＞γ＞0）。
　　變形可得：γ=。
　　γ對χ的一次導數γ′=，
　　γ對χ的二次導數γ″=。
　　于是橢圓上任意點處的曲率半徑ρ=，將γ′、γ″代入得：
　　ρ=。
　　對A、B兩點，χ=±a，代入上式得：
　　ρ=ρ=。
　　于是在A點處衛星需要的向心力：
　　F=。
　　將v、ρ代入可得：
　　F=，而a-c=r，
　　故F==F。
　　綜上所述，衛星做橢圓運動時，在四個頂點處均有F=F。
　　有了上述討論和得到的結論不難解決開篇那道題了。由于探月衛星在遠點Q處運動的軌道半徑不是（R+h），因而D選項錯誤。正確答案是BC。